2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷解析版

这是一份2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷解析版，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C．5 D．
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．a2+a4＝a6 D．a2÷a4＝a6
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示：
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
所售30双女鞋尺码的众数是（　　）
A．25cm B．24cm C．23.5cm D．23cm
6．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（　　）

A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
8．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（　　）

A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
9．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共8小题，共小题3分，共24分）
11．（3分）2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为亚洲最大，将数据12000用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝　 　．
13．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（1，3），则k的值是 　 　．
14．（3分）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 　 　．
15．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 　 　．

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　 　．

18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是 　 　．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝4．
20．（12分）根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，并设置了5个岗位：A．防疫宣传；B．协助核酸采样；C．物资配送；D．环境消杀；E．心理服务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．
光明社区志愿者报名情况统计表
岗位
频数（人）
频率
A
60
0.15
B
a
0.25
C
160
0.40
D
60
0.15
E
20
c
合计
b
1.00
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？
（4）光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热线，请用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
22．（12分）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

五、解答题（满分12分）
23．（12分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．

七、解答题（满分12分）
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 　 　；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．


八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．



2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．﹣ C．5 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．a2+a4＝a6 D．a2÷a4＝a6
【分析】根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项，同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：A．（a2）4＝a8，故A选项错误；
B．a2•a4＝a6，故B选项正确；
C．a2+a4≠a6，故C选项错误；
D．a2÷a4＝a﹣2＝，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示：
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
所售30双女鞋尺码的众数是（　　）
A．25cm B．24cm C．23.5cm D．23cm
【分析】根据众数的意义解答即可．
【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，23.5出现的次数最多，
∴众数是23.5cm．
故选：C．
【点评】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．
6．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根判断即可．
【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（　　）

A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
【分析】分别根据方差、众数、平均数和中位数的定义解答即可．
【解答】解：由图可得，甲射击10次的成绩分别为5，6，6，7，5，6，6，6，7，6；乙射击10次的成绩分别为9，5，3，6，9，10，4，7，8，9．
甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；
甲的众数是6，乙的众数是9，故B错误，不符合题意；
甲的平均数为×（5+6+6+7+5+6+6+6+7+6）＝6，乙的平均数为×（9+5+3+6+9+10+4+7+8+9）＝7，故C错误，不符合题意；
甲的中位数是6，乙的中位数是7.5，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查数据的收集与整理，熟练掌握方差、众数、平均数和中位数的意义是解题关键．
8．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（　　）

A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0
【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＞0，故B不符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
9．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x+1＝y．
∴所列方程组为．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a+，
∵a＜0，
∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，共小题3分，共24分）
11．（3分）2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为亚洲最大，将数据12000用科学记数法表示为 　1.2×104　．
【分析】科学记数法就是用幂的方式来表示，写成a×10n的形式，其中n＝整数位数﹣1．
【解答】解：12000用科学记数法表示为1.2×104．
故答案为：1.2×104．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数．
12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝　a（x+1）（x﹣1）　．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
13．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（1，3），则k的值是 　3　．
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
14．（3分）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 　0.9　．
【分析】根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率．
【解答】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
15．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 　（1，2）　．
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 　18°　．

【分析】由尺规作图可得CF⊥AB，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：由作图可得，AF⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°，
又∵AB＝AC，∠B＝54°，
∴∠ACB＝∠B＝54°，
∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　3或2　．

【分析】由已知求出AB＝4，AC＝2，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况进行讨论，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，

∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是 　5﹣5　．

【分析】由翻折知BF＝BA＝10，得点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点G、F、B三点共线时，GF最小，再利用面积法可得AE的长．
【解答】解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF＝BA＝10，
∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，
∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，
连接EG，设AE＝x，

由勾股定理得，BG＝5，
∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，
∴（5+10）×10＝++，
解得x＝5﹣5，
∴AE＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当a＝4时，原式＝＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（12分）根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，并设置了5个岗位：A．防疫宣传；B．协助核酸采样；C．物资配送；D．环境消杀；E．心理服务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．
光明社区志愿者报名情况统计表
岗位
频数（人）
频率
A
60
0.15
B
a
0.25
C
160
0.40
D
60
0.15
E
20
c
合计
b
1.00
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）b＝　400　，c＝　0.05　；
（2）补全条形统计图；
（3）光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？
（4）光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热线，请用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率．

【分析】（1）根据A岗位的频数和频率，可以计算出统计的志愿者总人数，然后再计算出c的值即可；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出a的值，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者；
（4）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）统计的志愿者总人数为：60÷0.15＝400，
∴b＝400，
c＝20÷400＝0.05，
故答案为：400，0.05；
（2）a＝400×0.25＝100，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）60×＝6（万人），
答：估计该市市区60万人口中有6万人报名当志愿者；
（4）设一级心理咨询师用A表示，二级心理咨询师用B表示，
树状图如下所示：

由上可得，一共有12种可能性，其中所选2人恰好都是一级心理咨询师有2种可能性，
∴所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率为＝．

【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【分析】（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，根据要确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，
依题意得：5m+3（12﹣m）≥50，
解得：m≥7．
答：至少要安排7台A型收割机．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）

【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，

由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．

【分析】（1）连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE∥AC，从而得出∠OEB＝90°，从而证明结论；
（2）过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE＝sin∠CAB＝，可得EF的长，由OA＝OE，得▱AOEF是菱形，则AF＝AO＝EF＝10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的长．
【解答】（1）证明：连接OE，

∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF∥OD，EF＝OD，
∵OA＝OD，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过点F作FH⊥OA于点H，

∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∴∠CFE＝∠CAB，
∴sin∠CFE＝sin∠CAB＝，
在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，
∵CE＝6，sin∠CFE＝，
∴EF＝，
∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，
∴▱AOEF是菱形，
∴AF＝AO＝EF＝10，
在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，
∵AF＝10，sin∠CAB＝，
∴FH＝AF，
∵AH2＝AF2﹣FH2，
∴AH＝，
∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，
∵OF2＝OH2+FH2，
∴OF＝，
∴OF＝2．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．
（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是 　45°　；
（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；
（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．


【分析】（1）由旋转的性质得出∠BAD＝20°，AB＝AD，求出∠DAE＝∠DAC＝35°，由三角形外角的性质可求出答案；
（2）延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，证明△ADE≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，证明△ABF≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，

∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝，
∴EF＝，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝AE；
（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，

由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2DE，
∴＝2；
如图4，当90°＜α＜180°时，

在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2DE，
∴+2．
综上所述，的值为2+2或2﹣2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，灵活应用平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．