2022版高考数学二轮复习 课时作业8

课时作业(八)

一、选择题

1．二十四节气(The 24 Solar Terms)是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每一个分别相应于地球在黄道上每运动15°所到达的一定位置．根据上述描述，从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为(　A　)

A．60°　 B．-75°　

C．45°　　 D．-60°

【解析】　从秋分到小雪相应于地球在黄道上运动的度数为4×15°＝60°.故选A．

2．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的(　A　)

A．丙申年 B．丙午年

C．甲辰年 D．乙未年

【解析】　依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．

2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年．故选A．

3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　D　)

A．d≈ B．d≈

C．d≈ D．d≈

【解析】　由球体积公式得d＝≈.

因为≈1.777 777 78，≈1.910 828 03，

≈1.909 090 91.而最接近于.所以选D.

4．我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是(　D　)

A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙

C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁

【解析】　假设甲说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到：“乙比丁少”，“甲比丙少”，“丙比丁少”，“丙比乙少”，∴甲，乙，丙，丁按各人读书本数由少到多的排列为甲丙乙丁，符合题意；假设乙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比乙少”，不合题意；假设丙说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁多”，不合题意；假设丁说的是真话，则另外三人说的都是假话，从而得到“丙比丁少”，不合题意，故选D.

5．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长为(　B　)

A．五寸 B．二尺五寸

C．三尺五寸 D．一丈二尺五寸

【解析】　设晷长为等差数列{an}，公差为d，a1＝15，

a13＝135，

则15＋12d＝135，解得d＝10.

∴a2＝15＋10＝25，

∴夏至之后的那个节气(小暑)的晷影长是2尺5寸．故选B.

6．(2021·浙江高一期末)在R上定义运算：＝ad-bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　D　)

A．-　 B．-　

C． D．

【解析】　由＝ad-bc，

则≥1即x(x-1)-(a-2)(a＋1)≥1，

所以a2-a-1≤x2-x恒成立，

在R上x2-x的最小值为-，

所以a2-a-1≤-，

整理可得(2a＋1)(2a-3)≤0，

解得-≤a≤，

实数a的最大值为，故选D.

7．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2.现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，b∈N*，b<a)，则圆周率的近似值是(　B　)

A． B．　

C． D．

【解析】　由几何概型中的面积型可得＝，

所以＝，即π＝.故选B.

8．(2020·湛江二模)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为(　A　)

A．π B．π

C．4π D．π

【解析】　由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，

∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，

∴圆锥的底面周长为＝2π，

故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为2.

∴圆锥的体积V＝×π×12×2＝π.

从而所求几何体的体积为V＝π.

9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x＝(　C　)

A． B．　

C． D．

【解析】　i＝1时，x＝2x-1；i＝2时，x＝2(2x-1)-1＝4x-3；i＝3时，x＝2(4x-3)-1＝8x-7；i＝4时，退出循环．此时，8x-7＝x，解得x＝.故选C.

10．(2021·咸阳模拟)我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为(　C　)

A．32 B．40＋32

C. D．72

【解析】　根据几何体的三视图画出直观图，如图所示：

所以该几何体的表面积为：S＝6×6＋2×2＋4××(2＋6)×2＝40＋32，故选B.

11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD＝2BD，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是(　A　)

A． B．　

C． D．

【解析】　设BD＝x，因为△ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成，

所以AD＝2x，∠ADB＝120°，

由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2-2AD·BDcos 120°，

代入可得AB2＝(2x)2＋x2-2×2x·xcos 120°，

化简得AB2＝7x2，

由三角形面积公式可得S△ABC＝AB2＝，

同理S△DEF＝FD2＝，

所以由几何概型面积类型的概率可得

＝＝.故选A．

12．(2020·厦门一模)1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长(单位：米)的立方(a3)与它的公转周期(单位：秒)的平方(T2)之比是一个常量，即＝k，k＝(其中k为开普勒常数，M为中心天体质量，G为引力常量)．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为(　C　)

A．150年 B．200年

C．250年 D．300年

【解析】　设地球的运行周期为T1，半长轴长为a1，冥王星的运行周期为T2，冥王星轨道的半长轴长为a2，

由题意可得＝k，

所以＝，由题意可得T＝×12，

所以T2＝80≈250年，故选C.

二、填空题

13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．

【解析】　设该数列{an}的首项为a1，公差为d，

依题意，

即，解得，

则a5＝a1＋4d＝a1＋7d-3d＝-＝.

14．(2021·云南曲靖一中高三模拟)如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为__36__.

【解析】　设球的半径为R，则πR3＝36π，

解得：R＝3；

∵正四棱柱底面正方形外接圆半径r＝＝a，又R2＝r2＋，

∴＝＝，解得：h＝，

∴正四棱柱侧面积S＝4ah＝4a＝，

∵2a2(36-2a2)≤＝324(当且仅当2a2＝36-2a2，即a＝3时取等号)，∴S≤＝36，

即正四棱柱侧面积的最大值为36.

15．设a＞0，b＞0，则为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段__DE__的长度是a，b的调和平均数．

【解析】　因为Rt△DEC∽Rt△DCO，

所以＝，从而DE＝.

依题意可得OD＝，CD＝，

所以DE＝，即线段DE的长度是a，b的调和平均数．

16．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a、b、c，求其面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若a>b>c，则S＝，现有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为__6__.

【解析】　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，

∴a∶b∶c＝2∶3∶，

又△ABC的周长为10＋2，

∴a＝4，b＝6，c＝2，

∴S＝＝6.

即△ABC的面积为6.