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广东省深圳市罗湖外国语初中学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)
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这是一份广东省深圳市罗湖外国语初中学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)，共18页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
罗湖外语初中学校2021-2022学年第二学期七年级期末考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列计算正确的是（ ）
A．a2＋a3＝a5 B．a3·a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．a10÷(－a2)3＝a4
2． 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8×10－8 B．8×10－7 C．80×10－9 D．0.8×10－7
4． 下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的一条中线将三角形面积平分 D．两直线被第三条直线所截，则同位角相等
5． 下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
6． 如果x2－(m＋1)x＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．1或－3
7． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60
8． 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20－0.2Q
9． 在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2
B．5
C．1或5
D．2或3
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC＋AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④⑤
D．①②⑤
二．填空题（每题2分，共14分）
11．计算：20212－2020×2022＝________．
12．已知一个角是30°，则这个角的余角的度数是________．
13．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交边AB于点E，则△ADC的周长为______．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________．
15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为________．
16．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为________方．
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准（元/方）
2
2.5
3
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使得△DEF的周长最小，此时∠EDF＝________．
三．解答题（共56分）
18．（8分）计算：
（1）(－)＋(2020＋π)0－35×()5－|－1|； （2）(－4ab3)(－)－()2．
19．（7分）化简求值：[(－x＋y)(－x－y)－(x－y)2＋2y(x＋y)]÷(－2y)，其中|2x－1|＋(y＋3)2＝0．
20．（6分）在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为________，是黄球的概率为________，是白球的概率为________．
（2）如果任意摸出一个球是黄球的概率是，求袋中内有几个白球？
21．（6分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
22．（5分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD（________________）
∴∠5＋∠CAB＝180°（________________）
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD（________________）
∴∠2＝∠EGA（________________）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB（________________）．
23．（10分）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：________________； 方法2：________________；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a－b＝5，ab＝－6，求：(a＋b)2的值；
②已知：a＞0，a－＝1，求：a＋的值．
24．（10分）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为________km/h，a的值为________；
（2）小张加速前的速度为________km/h和b的值为________；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为________时，两人相距20km？
25．（10分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________；线段BE与AD之间的数量关系是________；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2＋a3＝a5 B．a3·a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．a10÷(－a2)3＝a4
【解答】解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不正确；
a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；
a10÷(－a2)3＝－a4，所以选项D不正确．
故选：C．
2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：D．
3．新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8×10－8 B．8×10－7 C．80×10－9 D．0.8×10－7
【解答】解：∵0.00000008＝8×10－8；故选：A．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的一条中线将三角形面积平分 D．两直线被第三条直线所截，则同位角相等
【解答】解：A：因为，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以A选项错误；
B：因为，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以B选项错误；
C：因为，三角形的中线将三角形分成两个等底等高的两个三角形，所以面积相等，所以C选项正确．
D：因为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以D选项错误；
故选：C．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B、“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件，选项正确；
C、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D、不能构成三角形，选项错误．
故选：B．
6．如果x2－（m＋1）x＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．1或－3
【解答】解：∵x2－（m＋1）x＋1是完全平方式，
∴－（m＋1）x＝±2×1•x，
解得：m＝1或m＝－3．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．
故选：B．
8．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20－0.2Q
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝20－0.2t，
故选：B．
9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2 B．5 C．1或5 D．2或3
【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8－6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（cm/s）．
故v的值为2或3．
故选：D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC＋AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE＋∠ABE＝（∠BAD＋∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°－（∠BAE＋∠ABE）＝180°－90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
二．填空题
11．计算：20212－2020×2022＝ 1 ．
【解答】解：20212－2020×2022
＝20212－（2021－1）（2021＋1）
＝20212－（20212－12）
＝20212－20212＋1
＝1．
12．一个角是30°，则这个角的余角的度数是 60° ．
【解答】解：∵互余两角的和为90°，一个角是30°，
∴这个角的余角的度数是：90°－30°＝60°．故答案为：60°．
13．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的周长为 13 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DA＝DB，
∵△ADC的周长＝DA＋DC＋AC，
∴△ADC的周长＝DB＋DC＋AC＝BC＋AC，而AC＝5，BC＝8，
∴△ADC的周长＝8＋5＝13．故答案为13．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【解答】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是＝＝．故答案为：．
15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 32° ．
【解答】解：如图，
过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3＋∠4＝90°，
∴∠4＝90°－∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥B，
∴AB∥b，
∴∠2＝∠4＝32°，
故答案为：32°
16．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为 20 方．
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准（元/方）
2
2.5
3
【解答】解：∵45＞12×2＋6×2.5＝39，
∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，
设用水x方，水费为y元，则关系式为y＝39＋3（x－18）．
当y＝45时，x＝20，即用水20方．故答案为：20．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ 112° ．
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°－α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P＋∠Q＝180°－∠ADC＝180°－（180°－34）＝34°
∴∠ADE′＋∠CDF′＝∠P＋∠Q＝34，
∴∠E′DF′＝∠ADC－（∠ADE′＋∠CDF′）＝180°－68°＝112°
故答案为：112°．
三．解答题
18．计算：
（1）(－)＋(2020＋π)0－35×()5－|－1|； （2）(－4ab3)(－)－()2．
【解答】解：（1）原式＝4＋1－1－1＝3；
（2）原式＝（－4ab3）（－ab）－（）
＝a2b4－
＝．
19．化简求值：[(－x＋y)(－x－y)－(x－y)2＋2y(x＋y)]÷(－2y)，其中|2x－1|＋（y＋3）2＝0．
【解答】解：原式＝（x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy＋2y2）÷（－2y）
＝4xy÷（－2y）
＝－2x，
∵|2x－1|＋（y＋3）2＝0，
∴2x－1＝0，y＋3＝0，
∴x＝，y＝－3，
∴原式＝－2×＝－1．
20．在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为 ，是黄球的概率为 ，是白球的概率为 ．
（2）如果任意摸出一个球是黄球的概率是，求袋中内有几个白球？
【解答】解：（1）从中任意摸出一个球，是红球的概率＝＝，是黄球的概率＝＝，是白球的概率＝＝；
（2）设袋中内有x个白球，
根据题意得＝，
解得x＝3，
经检验x＝3为原方程的解，
即袋中内有3个白球．
故答案为；；．
21．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图：
（2）由图可求BB'＝6；
（3）S＝4×5－－－＝；
22．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD 内错角相等，两直线平行
∴∠5＋∠CAB＝180° 两直线平行，同旁内角互补
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
∴∠2＝∠EGA 两直线平行，同位角相等
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB 同位角相等，两直线平行 ．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠5＋∠CAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠5＝∠6（已知），
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠EGA（等量代换），
∴ED∥FB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
23．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： （m－n）2
方法2： （m＋n）2－4mn
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m＋n）2，（m－n）2，mn之间的等量关系． （m－n）2＝（m＋n）2－4mn ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a－b＝5，ab＝－6，求：（a＋b）2的值；
②已知：a＞0，a－＝1，求：a＋的值．
【解答】解：（1）方法1：（m－n）2；
方法2：（m＋n）2－4mn；
（2）（m－n）2＝（m＋n）2－4mn；
故答案为：（m－n）2；（m＋n）2－4mn；（m－n）2＝（m＋n）2－4mn；
（3）①解：∵a－b＝5，ab＝－6，
∴（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab＝52＋4×（－6）＝25－24＝1；
②解：由已知得：（a＋）2＝（a－）2＋4•a•＝12＋8＝9，
∵a＞0，a＋＞0，
∴a＋＝3．
24．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为 80 km/h，a的值为 4 ；
（2）求小张加速前的速度和b的值；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？
【解答】解：（1）由图象可得，
小王的速度为：80÷1＝80（km/h），
a＝400÷80－1＝4，
故答案为：80，4；
（2）设小张加速前的速度为xkm/h，
2.4x＝（x＋20）×（4.4－2.4），
解得，x＝100，
b＝400－2.4×100＝160，
即小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；
（3）由题意可得，
相遇前：100x＋80（x＋1）＝400－20
解得，x＝，
相遇后到小张返回前：100x＋80（x＋1）＝400＋20
解得，x＝，
小张返回后到小王到达A市前：80×（x＋1）＝（400－100×2.4）＋（100＋20）×（x－2.4）＋20，
解得，x＝4.7（舍去），
小王到达A市到小张返回到A市前，
（400－100×2.4）＋（100＋20）×（x－2.4）＋20＝400，
解得，x＝，
由上可得，在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为，或时，两人相距20km．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 60° ；线段BE与AD之间的数量关系是 BE＝AD ；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；
（3）AE＝BE＋2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°－∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM．
罗湖外语初中学校2021-2022学年第二学期七年级期末考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列计算正确的是（ ）
A．a2＋a3＝a5 B．a3·a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．a10÷(－a2)3＝a4
2． 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8×10－8 B．8×10－7 C．80×10－9 D．0.8×10－7
4． 下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的一条中线将三角形面积平分 D．两直线被第三条直线所截，则同位角相等
5． 下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
6． 如果x2－(m＋1)x＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．1或－3
7． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60
8． 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20－0.2Q
9． 在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2
B．5
C．1或5
D．2或3
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC＋AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④⑤
D．①②⑤
二．填空题（每题2分，共14分）
11．计算：20212－2020×2022＝________．
12．已知一个角是30°，则这个角的余角的度数是________．
13．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交边AB于点E，则△ADC的周长为______．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________．
15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为________．
16．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为________方．
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准（元/方）
2
2.5
3
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使得△DEF的周长最小，此时∠EDF＝________．
三．解答题（共56分）
18．（8分）计算：
（1）(－)＋(2020＋π)0－35×()5－|－1|； （2）(－4ab3)(－)－()2．
19．（7分）化简求值：[(－x＋y)(－x－y)－(x－y)2＋2y(x＋y)]÷(－2y)，其中|2x－1|＋(y＋3)2＝0．
20．（6分）在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为________，是黄球的概率为________，是白球的概率为________．
（2）如果任意摸出一个球是黄球的概率是，求袋中内有几个白球？
21．（6分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
22．（5分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD（________________）
∴∠5＋∠CAB＝180°（________________）
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD（________________）
∴∠2＝∠EGA（________________）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB（________________）．
23．（10分）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：________________； 方法2：________________；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a－b＝5，ab＝－6，求：(a＋b)2的值；
②已知：a＞0，a－＝1，求：a＋的值．
24．（10分）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为________km/h，a的值为________；
（2）小张加速前的速度为________km/h和b的值为________；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为________时，两人相距20km？
25．（10分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________；线段BE与AD之间的数量关系是________；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2＋a3＝a5 B．a3·a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．a10÷(－a2)3＝a4
【解答】解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不正确；
a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；
a10÷(－a2)3＝－a4，所以选项D不正确．
故选：C．
2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：D．
3．新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8×10－8 B．8×10－7 C．80×10－9 D．0.8×10－7
【解答】解：∵0.00000008＝8×10－8；故选：A．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角叫对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的一条中线将三角形面积平分 D．两直线被第三条直线所截，则同位角相等
【解答】解：A：因为，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以A选项错误；
B：因为，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以B选项错误；
C：因为，三角形的中线将三角形分成两个等底等高的两个三角形，所以面积相等，所以C选项正确．
D：因为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以D选项错误；
故选：C．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条能组成一个三角形”是必然事件
【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B、“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件，选项正确；
C、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D、不能构成三角形，选项错误．
故选：B．
6．如果x2－（m＋1）x＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．1或－3
【解答】解：∵x2－（m＋1）x＋1是完全平方式，
∴－（m＋1）x＝±2×1•x，
解得：m＝1或m＝－3．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．
故选：B．
8．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝20－0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20－0.2Q
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝20－0.2t，
故选：B．
9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2 B．5 C．1或5 D．2或3
【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8－6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（cm/s）．
故v的值为2或3．
故选：D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC＋AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE＋∠ABE＝（∠BAD＋∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°－（∠BAE＋∠ABE）＝180°－90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC＋CF＝BC＋AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
二．填空题
11．计算：20212－2020×2022＝ 1 ．
【解答】解：20212－2020×2022
＝20212－（2021－1）（2021＋1）
＝20212－（20212－12）
＝20212－20212＋1
＝1．
12．一个角是30°，则这个角的余角的度数是 60° ．
【解答】解：∵互余两角的和为90°，一个角是30°，
∴这个角的余角的度数是：90°－30°＝60°．故答案为：60°．
13．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的周长为 13 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DA＝DB，
∵△ADC的周长＝DA＋DC＋AC，
∴△ADC的周长＝DB＋DC＋AC＝BC＋AC，而AC＝5，BC＝8，
∴△ADC的周长＝8＋5＝13．故答案为13．
14．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【解答】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是＝＝．故答案为：．
15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 32° ．
【解答】解：如图，
过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3＋∠4＝90°，
∴∠4＝90°－∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥B，
∴AB∥b，
∴∠2＝∠4＝32°，
故答案为：32°
16．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为 20 方．
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准（元/方）
2
2.5
3
【解答】解：∵45＞12×2＋6×2.5＝39，
∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，
设用水x方，水费为y元，则关系式为y＝39＋3（x－18）．
当y＝45时，x＝20，即用水20方．故答案为：20．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ 112° ．
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°－α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P＋∠Q＝180°－∠ADC＝180°－（180°－34）＝34°
∴∠ADE′＋∠CDF′＝∠P＋∠Q＝34，
∴∠E′DF′＝∠ADC－（∠ADE′＋∠CDF′）＝180°－68°＝112°
故答案为：112°．
三．解答题
18．计算：
（1）(－)＋(2020＋π)0－35×()5－|－1|； （2）(－4ab3)(－)－()2．
【解答】解：（1）原式＝4＋1－1－1＝3；
（2）原式＝（－4ab3）（－ab）－（）
＝a2b4－
＝．
19．化简求值：[(－x＋y)(－x－y)－(x－y)2＋2y(x＋y)]÷(－2y)，其中|2x－1|＋（y＋3）2＝0．
【解答】解：原式＝（x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy＋2y2）÷（－2y）
＝4xy÷（－2y）
＝－2x，
∵|2x－1|＋（y＋3）2＝0，
∴2x－1＝0，y＋3＝0，
∴x＝，y＝－3，
∴原式＝－2×＝－1．
20．在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为 ，是黄球的概率为 ，是白球的概率为 ．
（2）如果任意摸出一个球是黄球的概率是，求袋中内有几个白球？
【解答】解：（1）从中任意摸出一个球，是红球的概率＝＝，是黄球的概率＝＝，是白球的概率＝＝；
（2）设袋中内有x个白球，
根据题意得＝，
解得x＝3，
经检验x＝3为原方程的解，
即袋中内有3个白球．
故答案为；；．
21．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图：
（2）由图可求BB'＝6；
（3）S＝4×5－－－＝；
22．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD 内错角相等，两直线平行
∴∠5＋∠CAB＝180° 两直线平行，同旁内角互补
∵∠5＝∠6（已知）
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
∴∠2＝∠EGA 两直线平行，同位角相等
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠EGA（等量代换）
∴ED∥FB 同位角相等，两直线平行 ．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠5＋∠CAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠5＝∠6（已知），
∴∠6＋∠CAB＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠2＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠EGA（等量代换），
∴ED∥FB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
23．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： （m－n）2
方法2： （m＋n）2－4mn
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m＋n）2，（m－n）2，mn之间的等量关系． （m－n）2＝（m＋n）2－4mn ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a－b＝5，ab＝－6，求：（a＋b）2的值；
②已知：a＞0，a－＝1，求：a＋的值．
【解答】解：（1）方法1：（m－n）2；
方法2：（m＋n）2－4mn；
（2）（m－n）2＝（m＋n）2－4mn；
故答案为：（m－n）2；（m＋n）2－4mn；（m－n）2＝（m＋n）2－4mn；
（3）①解：∵a－b＝5，ab＝－6，
∴（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab＝52＋4×（－6）＝25－24＝1；
②解：由已知得：（a＋）2＝（a－）2＋4•a•＝12＋8＝9，
∵a＞0，a＋＞0，
∴a＋＝3．
24．小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）小王的速度为 80 km/h，a的值为 4 ；
（2）求小张加速前的速度和b的值；
（3）在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20km？
【解答】解：（1）由图象可得，
小王的速度为：80÷1＝80（km/h），
a＝400÷80－1＝4，
故答案为：80，4；
（2）设小张加速前的速度为xkm/h，
2.4x＝（x＋20）×（4.4－2.4），
解得，x＝100，
b＝400－2.4×100＝160，
即小张加速前的速度为100km/h，b的值是160；
（3）由题意可得，
相遇前：100x＋80（x＋1）＝400－20
解得，x＝，
相遇后到小张返回前：100x＋80（x＋1）＝400＋20
解得，x＝，
小张返回后到小王到达A市前：80×（x＋1）＝（400－100×2.4）＋（100＋20）×（x－2.4）＋20，
解得，x＝4.7（舍去），
小王到达A市到小张返回到A市前，
（400－100×2.4）＋（100＋20）×（x－2.4）＋20＝400，
解得，x＝，
由上可得，在小张从出发到回到A市的公司过程中，当x为，或时，两人相距20km．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 60° ；线段BE与AD之间的数量关系是 BE＝AD ；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；
（3）AE＝BE＋2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°－∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM．
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