2022年湖北省天门市中考数学试卷（含解析）

2022年湖北省天门市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在，，，这四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是(    )

A. 长方体
B. 正方体
C. 三棱柱
D. 圆柱

3. 下列说法正确的是(    )

A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B. 一组数据，，，，，，的众数和平均数都是
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币次，一定有次“正面向上”

4. 如图，，直线分别交，于点，的平分线交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限

8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

9. 由个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，边长分别为和的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则随变化的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为______米．
12. 有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，则辆大货车与辆小货车一次可以运货______吨．
13. 从名男生和名女生中任选名学生参加志愿者服务，那么选出的名学生中至少有名女生的概率是______．
14. 在反比例函的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为______．
15. 如图，点是上一点，是一条弦，点是上一点，与点关于对称，交于点，与交于点，且给出下面四个结论：
    平分；；；为的切线．
    其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共75分）

16. 化简：；
    解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
     
17. 已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
    在图中作出矩形的对称轴，使；
    在图中作出矩形的对称轴，使．
     

18. 为了解我市中学生对疫情防控知识的掌握情况，在全市随机抽取了名中学生进行了一次测试，随后绘制成如下尚不完整的统计图表：测试卷满分分，按成绩划分为，，，四个等级

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
抽取的这名中学生，其成绩的中位数落在______等级填，，或；
我市约有万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成绩能达到等级．

19. 小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度．结果保留小数点后一位参考数据：

20. 如图，，，点，分别在函数和的图象上，且点的坐标为．
    求，的值；
    若点，分别在函数和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得≌若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 如图，正方形内接于，点为的中点，连接交于点，延长交于点，连接．
    求证：；
    若，求和的长．

22. 某超市销售一种进价为元千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量千克与销售单价元千克有如下表所示的关系：

根据表中的数据在如图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出关于的函数关系式；
设该超市每天销售这种商品的利润为元不计其它成本．
求出关于的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求元时的销售单价．
 

23. 已知是的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为．
    填空：当，，时，
    如图，若，，则______，______；
    如图，若，，则______，______；
    如图，当时，探究与，的数量关系，并说明理由；
    如图，当，，，时，请直接写出的大小．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点．
    求点的坐标及直线的解析式；
    当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；
    平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是．
故选：．
实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据三视图可知，该立体图形是长方体，
故选：．
根据三视图直接判断即可．
本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握基本图形的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.数据，，，，，，的众数是平均数为，故本选项不合题意；
C.若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正确，故本选项符合题意；
D.抛掷一枚硬币次，不一定有次“正面向上”，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．
本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解： ，
，
平分 ，
，
，
．
故答案选：．
先根据平行线的性质得到 ，再求出 ，最后根据平行线的性质即可求出 ．
本题考查了平行线的性质，熟知平行线的三条性质并根据题意灵活应用是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
设扇形的半径为，
则，
即，
解得：，

故选：．
先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在第四象限，
，，
直线经过第一，二，四象限，
故选：．
由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得，的符号，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，即，且，，
，
，即，
，即，
解得：或．
故选：．
利用根与系数的关系表示出与，已知等式整理后代入计算即可求出的值．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，延长于点，

网格是由个形状相同，大小相等的菱形组成，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
延长于点，根据菱形的性质可得：是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，进而可得的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：随着的增加，由大变小，所以排除；由于边长不同，不能是，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除；由于是匀速，所以就对称，所以可以排除；所以只剩下选项A．
故选：．
随着的增加，由大变小，由于边长不同，不能是，且恒定，然后再逐渐变大，由于是匀速，所以就对称，即可求出答案．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的变化趋势，结合实际情况采用排除法求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：米米．
故答案为：．
把某种病毒的直径表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法表示较小的数，弄清科学记数法的表示方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设辆大货车一次可以运货吨，辆小货车一次可以运货吨，
根据题意得：
得和再除以得：
故答案为：．
根据题意列二元一次方程组，并求解，再求有关代数式的值．
本题考查得是二元一次方程得应用，审题、列方程是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中选出的名学生中至少有名女生的可能性有种，
选出的名学生中至少有名女生的概率是，
故答案为：．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得选出的名学生中至少有名女生的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
 

14.【答案】 

【解析】解：整式是一个完全平方式，
，
反比例函的图象的每一支上，都随的增大而减小，
，
解得，
，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
由整式是一个完全平方式，可得，由反比例函的图象的每一支上，都随的增大而减小，可得，解得，则，即可得反比例函数的解析式．
本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟练掌握反比例函数的图象与性质、完全平方式是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点与点关于对称，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
平分；
故正确；
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
故正确；
，
，
，
与不相似，
故不正确；
连接，交于点，

，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线，
故正确；
所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：，
故答案为：．
根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，，再利用等腰三角形和平行线的性质可得平分，即可判断；根据圆内接四边形对角互补和平角定义可得，再利用证明≌，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可判断；根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得与不相似，即可判断；连接，交于点，利用的结论可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，最后利用平行线的性质可求出，即可解答．
本题考查了角平分线的定义，切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，以及圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式


；
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
 

【解析】原式括号中第一项约分后两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及不等式的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，直线即为所求；
 

【解析】如图中，连接，交于点，作直线即可；
如图中，同法作出直线，连接交于点，连接，延长交于点，作直线即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】       

【解析】解：由题意得，
故，，
故答案为：；；；
把抽取的这名中学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数均落在等级，故中位数落在等级，
故答案为：；
万名，
答：估计约有多万名中学生的成绩能达到等级．
用等级的频数除以即可得出的值，用的值分别减去其它等级的频数即可得出的值；用除以即可得出的值；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布表，扇形统计图以及中位数，掌握“频率频数总数”是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，

则，，三点共线，米，米，
设米，则米，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得，
米，
米．
旗杆的高度约为米． 

【解析】过点作于点，则，，三点共线，米，米，设米，则米，在中，，，解得，在中，，，解得，则米，根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，

，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，
；
如图，≌，

，
与关于轴对称，与关于轴对称，
，． 

【解析】作辅助线，构建三角形全等，证明≌，可解答；
根据≌和反比例函数的对称性可得：与关于轴对称，与关于轴对称，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，
．
．
，
∽，
，
；
解：连接，如图，

，，
．
．
点为的中点，
，
四边形是正方形，
，，，
，．
．
，
，
；
点为的中点，
，
．
，
． 

【解析】利用相似三角形的判定与性质解答即可；
连接，利用平行线分线段成比例定理求得；利用相交弦定理求即可．
本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，

设，
把和代入中得：
，
解得：，
；
，
，
当时，有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为元；
当时，，
，
，，
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
． 

【解析】描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
根据题意列方程，解方程即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
 

23.【答案】       

【解析】解：如图中，，，
，
平分，
，
，，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
故答案为：，；
如图中，

在中，，，
，，
，，平分，
，
，，
，
，
故答案为：，；

如图中，过点作于点，于点．

，，平分，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
≌，
，
把绕点逆时针旋转得到右边，，，，
；

如图中，过点于点，于点．

，，平分，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
把绕点顺时针旋转得到，，，，
过点作于点，
，
．
证明，都是等腰直角三角形即可解决问题；
解直角三角形求出，，，可得结论；
如图中，过点作于点，于点证明≌，推出，把绕点逆时针旋转得到右边，，，，可得结论；
如图中，过点于点，于点证明≌，推出，把绕点顺时针旋转得到，，，，过点作于点，解直角三角形求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了特殊直角三角形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：，
顶点，
令，则，
，
轴，
，
设直线解析式为，
，
解得，
；
抛物线的对称轴为直线，
当时，
时，，
时，，
，
解得舍；
当，即，
时，，
时，，
，
解得舍；
当，即，
时，，
时，，
，
解得或舍；
当，即，
时，，
时，，
，
解得舍或，
综上所述：的值或；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
如图，当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
整理得，
当时，，
解得，
此时抛物线的顶点为
如图，当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，
平移后的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，，
解得舍或，
此时抛物线的顶点坐标为，
． 

【解析】求出、、三点坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
分四种情况讨论：当时，，解得舍；当，即，，解得舍；当，即，，解得或舍；当，即，，解得舍或；
分两种情况讨论：当抛物线向左平移个单位，则向上平移个单位，平移后的抛物线解析式为，求出直线的解析式为，联立方程组，由时，解得，此时抛物线的顶点为当抛物线向右平移个单位，则向下平移个单位，平移后的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，此时抛物线的顶点坐标为，则可求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．