2021省牡丹江三校联谊高一下学期期中考试数学含答案

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数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：必修第二册第六章，第七章前两节，第八章。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，x＝，则复数z在复平面内对应的点位于

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

2.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，a＝2，C＝120°，则sinA＝

A.     B.     C.     D.

3.复数z＝(1＋i)(2－i)的共轭复数为

A.－1＋2i     B.－1－2i     C.3＋i     D.3－i

4.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的面积为

A.2     B.4     C.     D.2

5.已知z＝，则|z|＝

A.1     B.2     C.3     D.4

6.已知灯塔A在海洋观察站C的北偏东65°，距离海洋观察站C的距离为a km，灯塔B在海洋观察站C的南偏东55°，距离海洋观察站C的距离为3a km，则灯塔A与灯塔B的距离为

A.a km     B.a km     C.a km     D.2a km

7.如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则λ＋μ的值为

A.     B.     C.－     D.－1

8.已知四棱锥S－ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E。若SA＝AB＝3，则△SED的面积的最小值为

A.6     B.     C.3     D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝

A.30°     B.60°     C.120°     D.150°

10.已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则

A.|z|＝                B.

C.复数z的实部为－1      D.

11.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A.若m⊥α，n⊥α，则m//n       B.若l⊥α，mα，则l⊥_m

C.若α⊥β，lα，则l⊥β        D.若l//α，l⊥β，则α⊥β

12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点。则下列说法正确的是

A.直线D1D与直线EF是异面直线         B.直线A1G与平面AEF平行

C.A，E，F，D1四点不在同一平面内       D.平面AEF截正方体所得的截面面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知i为虚数单位，则i2020＋i2021＝         。

14.若向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，则|a－2b|＝         。

15.如图所示，在棱锥A－BCD中，截面EFG平行于底面，且AE：EB＝1：2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为         。

16.已知长方体ABCD－A'B'C'D'中，A'B'＝，B'C'＝1，A'B与平面ACC'A'所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为            。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17.(10分)

已知复数z＝2－ai(a∈R)，且(1－2i)z为纯虚数。

(1)求复数z；

(2)若ω＝，求复数ω及其模|ω|。

18.(12分)

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，PA＝PC，E，F分别为AB和PD的中点。

(1)求证：AC⊥平面PBD；

(2)求证：EF//平面PBC。

19.(12分)

已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(，1)，其中θ∈(0，)。

(1)若a//b，求sinθ，cosθ的值；

(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域。

20.(12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2－a2＝bccosA－ab。

(1)求角C；

(2)若c＝2，求a＋b的取值范围。

21.(12分)

已知单位向量a与b的夹角是钝角，当t∈R时，|a－tb|的最小值为。

(1)求向量a与b的夹角；

(2)若c＝λa＋(1－λ)b，其中λ∈R，求|c|的最小值。

22.(12分)

如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ABED⊥平面BCFE，BA⊥BC，BC＝3，BE＝DE＝DA＝AB＝1。

(1)求证：AE⊥平面BCFE；

(2)求直线DF与平面AEF所成角的正弦值。