2021内江六中高三下学期第七次月考理科数学试题含答案

理科数学《第七次月考》参考答案

一、单选题：1-6：CBCCAA         7-12：ACDBCD

11.【解析】设双曲线右顶点A，B在一条渐进线上，，则，．弦MN的中点为E，则，和中，与为同角，，，，，又，为等腰直角三角形，，，，，，当时，M，N在原点O的两侧，这与矛盾，，，，整理得到，，即，，

12.【解析】不等式化为，令，则，若，则，函数单调递增，当时，，不可能恒有；若，由，得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
故当时取得极小值，也是最小值．故，得，则，
令，，则，则当时，，当时，，则当时，取得极大值，而，的最大值为．

二、填空题

13.        14.-       15.        16.

16.【解析】如图正四棱柱的底面边长为2，，又侧棱，，则P与重合时，此时P点唯一，故正确；，，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故正确；连接，，可得平面平面，则当P为中点时，DP有最小值为，故错误；由C知，平面BDP即为平面，平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，
其半径为，面积为，故正确．

三、解答题

17.【答案】证明：由及圆锥的性质，所以为等边三角形，则圆O所在平面， 所以，是AC与底面所成角，又AC与底面所成的角的正弦值为，
在中，，，
由，，在中，，所以，（4分）
圆锥的性质可知：圆O所在平面，因为圆O所在平面，
所以，又AO，平面AOC，，
所以平面AOC，又平面ACD，故平面平面ACD； （6分）
解法一：在圆O所在平面过点O作BD的垂线交圆O于点E，以O为坐标原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立如图空间直角坐标系，

由题可知，，，，由，，所以，（8分）
设平面ACD的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，（10分）
平面ABD的一个法向量为，所以，
二面角的平面角的余弦值为；（12分）

18.【答案】

解：，（2分），
所以，因为，所以，（6分）
在三角形ABC中，设，
则，
，，（10分）
设
所以，因为，为锐角，

当时，的最大值为．（12分）

19.【答案】解：设考生甲正确完成题数为，则的可能取值为0，1，2，3．（1分）
，，，（4分）
考生甲正确完成题数的分布列为：

甲考生正确完成题数的数学期望：．（6分）
设考生乙正确完成实验操作的题目个数为，因为，其分布列为：

，，1，2，3，所以．（8分）
甲、乙两考生正确完成题数的数学期望相同；
因为，
，．（11分）
因为，，所以．
从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定．
从至少完成两道题的概率来看，甲获得通过的可能性较大，

因此可以断定甲的实验操作能力强．（12分）

20.【答案】解：由可得：

由已知可得，当时，令得，．

与在区间上的情况如下：

因为在上具有单调性，所以．

当时，与在区间上的情况如下：

因为在上具有单调性，所以，即．

综上所述，a的取值范围是．  （5分）

先证明：．由知，当时，的递增区间是，，递减区间是．因为，不妨设，则．

若，则．所以． 

若，因为，所以，当且仅当时取等号．

综上所述，．

再证明：的取值范围是．  （8分）

假设存在常数，使得对任意，．

取，且则

，与矛盾．

所以的取值范围是．（12分）

21.【答案】解：Ⅰ依题意得，
解得，，，
所以椭圆C：．（5分）
Ⅱ解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，
所以设直线PA、PB的方程为，，
所以，，
联立方程消元得：，
所以，所以，
所以，
同理得，，（8分）
设，则，，
所以，所以点M在直线上，（10分）
所以当时，的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即，
因为消元得：，解得或舍去．
所以椭圆C上存在不同于P的定点，使得的面积为定值．（12分）
Ⅱ解法二：
设直线PA、PB的斜率为，，，，
因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以，
设直线AB的方程为，
联立方程消元得：，
所以，，，（8分）
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以所以或舍去
直线OM的斜率所以点M在直线上，（10分）
所以当时，的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即，
因为消元得：，解得或舍去．
所以椭圆C上存在不同于P的定点，使得的面积为定值．（12分）

22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，
转化为直角坐标方程为，（3分）
直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为．（5分）
由于直线l与x轴的交点坐标为，
所以直线l的参数方程为为参数，
代入，得到，所以，，（8分）
则．（10分）
23.【答案】解：
当时，，解得，此时
当时，，解得，此时
当时，，解得，此时不等式无解．
综上，所求不等式的解集为．（5分）
由知，在上单调递减，在单调递增，所以，即，
所以，  （9分）
等号当且仅当，即，亦即，，时成立，
所以的最小值为12．（10分）