2021汉中高三下学期4月教学质量第二次检测考试文科数学试题含答案
展开汉中市2021届高三年级教学质量第二次检测考试
文科数学试题
本试卷共23小题，共150分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，那么集合
A． B． C． D.
2.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称， 则
A.-5 B.5 C. 1-4i D. -1+4i
3.已知，那么（ ）A． B． C． D．
4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数。当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散。广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数。假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．50% B．60% C．70% D．80%
5.直线，圆C：，则“”是“与圆相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.在直三棱柱中，，
则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）
A． B. C. D.
9. 已知函数在区间上是增函数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数列的前n项和为，若，则( )
A． B． C． D．
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为 的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． 4 B． C． 2 D．
- 定义域为的函数，若关于x的方程
恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 若，则实数 ．
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝，b＝，c＝，则角B＝_____.
15.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为 .
16. 已知函数,曲线上总存在两点，，使曲线在M，N两点处的切线互相平行，则
的取值范围为________.
三、解答题：共70分. 解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题是必考题，每 个考生都必须作答. 第22、23题是选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，.
(1) 求数列的通项公式；
.
18.（本小题满分12分）在四棱台中，底面是边长为2的菱形，
，，平面.
(1) 是棱的中点，求证：平面；
(2) 求四棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下：
(1) 下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
面试分数 | [0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) |
人数 | 15 | a | 4 | 1 |
频率 | b |
(2) 该大学的招生办从25～30号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率.
- （本小题满分12分）
已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不与轴平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线过点时，恒有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）设是的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）证明：当时，.
（二）选考题：共10分. 考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线过原点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）方程解集非空，求的取值范围.
汉中市2021届高三年级教学质量第二次检测考试
文科数学参考答案
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | B | D | D | B | A | C | B | A | C | D | C |
二、填空题：
13. -2 14. 15. 16.
三、解答题：
17解： 设的公差为，则由题意得，解得：. ……4分
(1) 的通项公式为，
即. …………6分
（2）由⑴知的前n项和为 …………8分
又数列的前n项和为： …………11分
故 …………12分
18解：（1）证明：连，由，是棱的中点，得，且
故四边形为平行四边形.所以， …………3分
又平面，平面，
所以平面 …………5分
（2）取中点，连接AC，CF，因为底面是菱形，，
所以，又面，∴，∵
所以，即为四棱锥的高，且 …………10分
而，…………11分
所以四棱锥
…………12分
19解：(1) 面试分数在[100,200)内的学生共有30－15－4－1＝10 (名)，
故a＝10，b＝＝ …………2分
估计这些学生面试分数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(分). ……6分
(2) 从25～30号学生中任选两人的选择方法有(25,26)，(25,27)，(25,28)，(25,29)，(25,30)，
(26,27)，(26,28)，(26,29)，(26,30)，(27,28)，(27,29)，(27,30)，(28,29)，(28,30)，(29,30)
共15种， …………9分
观察题图易知25号，26号，27号学生的面试分数均在200分以上， …………10分
所以选择的两人的面试分数均在200分以上的选择方法有(25,26)，(25,27)，(26,27)，
共3种，…………11分
故选择的两人的面试分数均在200分以上的概率为即． …………12分
20 解：（1）由题，又由
得 …………4分
（2）假设存在轴上的点满足题意，则，由（1）
① 当斜率不存在时，易得 …………6分
由得，
解得： …………8分
② 当斜率存在时，由①无妨设直线
由，
…………9分
…………11分
综上：在轴上存在定点，当直线过点时，恒有 ………… 12分
（2）解法二：假设存在点满足条件，由题可设直线
由，
…………7分
…………9分
即：
…………11分
所以：在轴上存在定点，当直线过点时，恒有 …………12分
21解：（1）由题意的定义域为，且. …………1分
由题意可知，即， 所以，从而是增函数. ………2分
又，所以当时，；当时，. ………4分
故的单调递减区间为，单调递增区间为. …………5分
（2）证明：当时，，所以.
令，则， …………9分
易知在上单调递增，且.
所以当时，；当时，. …………11分
从而，即，所以，当时，. …………12分
22.解：（1）直线极坐标方程： …………2分
曲线的参数方程为(为参数)，消去，得，
即，将，，代入上式得
曲线的极坐标方程： …………5分
（2）将代入曲线的极坐标方程，得.
设，，则， …………7分
∴，
∵， ∴， ∴.
∴的取值范围为. …………10分
23. 解： 不等式，即
所以 或或 …………3分
解得或或
所以不等式的解集为： …………5分
（2）方程解集非空等价于有解，
即函数和函数的图像有交点，
…………6分
画出的图像，直线恒过点,
即直线绕点旋转时，与函数图象有交点时斜率的取值范围，
如图，当直线过点时刚好满足条件，当旋转到斜率为，刚好不满足条件,
∵ ∴的取值范围为 …………10分
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