2021汉中高三下学期4月教学质量第二次检测考试（二模）数学（理）试题含答案

汉中市2021届高三年级教学质量第二次检测考试

理科数学

本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将答题卡交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.      

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.     

1.已知集合，，那么集合

A．     　    B．          C．              D.

2.在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，则

A. 5            B.-5                C. 1-4i        　　   D. -1+4i

4.在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数。当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数。假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为。已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（  ）

A．50%          B．60%          C ．70%             D．80%

5.直线，圆C：，则“”是“与圆相切”的（   ）

　A．充要条件      B．充分不必要条件  C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

6.已知，，，则（  ）

A．    B．      C．       D．

7.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视

图，则此几何体的表面积为（  ）

A．          B．                                

C．           D．

8.在直三棱柱中，,

则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（  ）

A.             B.            C.             D.

9.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（   ）

A. 4               B.            C.               D.2

10. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值可能为（   ）

A.            　   B.             C.              D.２

11.根据《医养在汉中发展规划（2020—2030年）》，汉中市聚焦打造“真美汉中，康养福地”

　 特色品牌，着力发展“医养融合”、“健康旅游”、“健康运动”、“中医药”、“健康食

　 品”5大医养支柱产业。现安排5名调研员赴北京、上海、广州进行交流学习，每个城市至

　 少去1人，则恰好有2名调研员去北京的概率为（  ）

　A．              B．             C．             D．

12.设实数,若不等式对于任意恒成立，则的取值范围为（  ）

A．          B．          C．        D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，若则实数　   　．

14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝，b＝，c＝，则B＝________.

15.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为       .

三、解答题：共70分. 解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题是必考题，每  个考生都必须作答. 第22、23题是选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）如图：在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，平面.

（1）是棱的中点，求证：平面；

（2）试问棱上是否存在点，使得二面角

的余弦值为？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目。某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理。在本校选取100名学生进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如下表：（频率可以近似看成概率）  

（1）求表格中的和；

（2）根据模拟选课数据，估计已知某同学选择地理的条件下，在“1”中选择物理的概率；

（3）甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的，设为三人中选择含地理组合的人数，求  的分布列和数学期望.                                                                                                   

20. （本小题满分12分）

已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为．

(1)    求椭圆的方程；

(2)    若与轴不平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线

过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数，.

（1）若，求的最大值；

（2）若函数，讨论的单调性；

（3）若函数有两个极值点，

求证：.

（二）选考题：共10分. 考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系中，直线过坐标原点，且倾斜角为，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲  已知函数.

（1）解不等式；

（2）方程解集非空，求的取值范围。

汉中市2021届高三年级教学质量第二次检测考试

理科数学（参考答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.      14.      15.      16.   2

三、解答题：共70分.第17～21题是必考题，第22、23题是选考题，考生根据情况作答.

（一）必考题：每小题12分，共60分.

17． (1)设的公差为d，则由题意得，

解得：.                                    ···············4分

数列的通项公式为，

即.                                     ···············6分

（2）由⑴知的前n项和为.     ···············8分

     又的前n项和为：                 ················11分

   故                                          ··················12分

18.解：（1）证明：连，由，是棱的中点，

得，且

故四边形为平行四边形.所以，                     ················2分    

又平面，平面，

所以平面，                                      ·····················5分   

（2）假设点存在，取中点，因为底面是菱形，

，所以，，又面，

所以，，两两互相垂直.以为坐标原点，，，为正方向建立空间直角坐标系.                                                  ·······················6分   

由，得，设，其中.

，， ，.

设为平面的一个法向量，则

，即可取.·            ··············9分 

易知平面一个法向量为

由，得，          ··················11分        

故为边的中点．                                     ··················12分              

19.解（1），                                  ····················2分

 （2）记事件A：某同学选择地理   B：某同学“1”中选物理

                      ····················6分

（3）每位同学选含地理组合的概率为0.6，     ················7分

分布列如下：

数学期望：    ···············12分

20【解析】：（1）由题，又由

得                          ·················4分

（2）假设存在轴上的点满足题意，则，由（1）

 ①当斜率不存在时，易得        

由得

解得：        ·················6分

②当斜率存在时，由①无妨设直线

由，

                       ·················9分

                              ·······················11分

综上所述：在轴上存在定点，             

当直线过点时，恒有·        ······················12分

（2）解法二：假设存在点满足条件，由题可设直线

由，

                        ······················7分

             ······················9分

       即：

   ·················11分

所以：在轴上存在定点，当直线过点时，恒有  ·······12分

21解：（1）当时，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减.所以的最大值为.   ············2分

（2）由已知得，

.

①当时，由得

因而当时，，单调递增，当时，，单调递

 ②时，令得或

i）当时，，因而当时，单调递增.         ·············4分

ii）当时，由，得或.

当与时，，单调递增，当时，，单调递减.

iii）当时，由.得或，

因而当与时，，单调递增，当时，， 单调递减.                                                            ·············6分

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在与上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在与上单调递增，在上单调递减.  ·············7分

（3），则的定义域为. .

若有两个极值点，则方程的判别式，且，，.又，∴即.

，                        ············9分

设其中.

由得. 由于即，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即的最大值为.

从而成立.                                    ············12分

22.解：（1）直线极坐标方程：                         ··············2分

曲线的参数方程为(为参数)，消去，得，

即，将，，代入上式得

曲线的极坐标方程：               ··············5分

（2）将代入曲线的极坐标方程，得.

设，，则，          ··············7分

∴，       

∵，  ∴，  ∴.

∴的取值范围为.                                ················10分

23.【解析】

，即

所以 或或

解得或或

所以解集为：                           ··············5分           

（2）等价于有解

即函数和函数的图像有交点          

           ·············6分

画出的图像，直线恒过点, 

即直线绕点旋转时，与函数图象有交点时斜率的范围.

如图:

当直线过点时刚好满足条件，当旋转到斜率为，刚好不满足条件,

,所以的取值范围为             ··············10分