2021江苏省“决胜新高考・名校交流“高三下学期3月联考试题数学PDF版含解析
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决胜新高考•名校交流2021届高三3月联考卷
数学答案及评分标准
一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分,1-8题为单选题,9-12题为多选题,多选题全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | D | B | D | B | D | C | C | ACD | ACD | BC | BC |
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共60分.
13. ,
14.-9
15. (第一空2分,第二空3分)
16.116π
评分标准:按参考答案给分,结果必须化简,完全正确,写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。
三、解答题:本小题共6小题,共70分.
评分标准:具体步骤分参照答案解析,没有步骤只有答案均不给分。
试题有不同解法时,解法正确即可酌情给分。
17.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
因为Tn=1-bn,
当n=1时,T1=1-b1=b1,
所以b1=;(1分)
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),(2分)
整理得=,
所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列,
故bn=.(4分)
由a8=3a3,得1+7d=3·(1+2d),解得d=2.
又a1=2b1=1,所以an=2n-1.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,an·bn=(2n-1)·,(6分)
所以Q n=1×+3×+5×+…+(2n-1)×, ①
则Qn=1×+3×+5×+…+(2n-1)×, ②(7分)
①-②得Qn=1×+2×+2×+…+2×-(2n-1)×=+2×-(2n-1)×,(8分)
所以Qn=3-.(10分)
18.解:(Ⅰ)∵m⊥n,∴m·n=0,
即m·n=2cosAcosC(tanAtanC-1)-1
=2sinAsinC-2cosAcosC-1
=-2cos(A+C)-1
=2cosB-1
=0,(4分)
∴cosB=.(5分)
∵B∈(0,π),∴B=.(6分)
(Ⅱ)∵===,
∴sinA=a,sinC=c.(7分)
∵sinA+sinC=,∴a+c=13.
又∵b2=a2+c2-2accosB,(9分)
即72=a2+c2-2accos,
∴ac=40,(10分)
∴S△ABC=acsinB=×40×sin=10.(12分)
19.解:(Ⅰ)当z=h时,x2+y2≤16-h2,截面为圆面,
则16-h2=12,解得h=±2.
又h≥0,所以h=2.(6分)
(Ⅱ)在W1中,平面z=h所截的截面为圆,其面积为π(16-h2),
在W2中,平面z=h所截的截面为圆环,其面积为π(16-h2),
即z=h截W1,W2所得面积均相等,从而由祖暅原理知,W1,W2体积相等,
由W1为半球知其体积V=×π×43=π.(12分)
20.解:(Ⅰ)若第(n+1)次由甲组答题,则包括第n次由甲组答题,第(n+1)次继续由甲组答题,以及第n次由乙组答题,第(n+1)次由甲组答题.
答对的题数之和为3的倍数分别为
1+2,2+4,1+5,4+5,3+3,6+6,3+6,
其概率为=,
则答对的题数之和不是3的倍数的概率为,(3分)
所以第n次由甲组答题,第(n+1)次继续由甲组答题的概率为Pn,
第n次由乙组答题,第(n+1)次由甲组答题的概率为(1-Pn),
因此Pn+1=Pn+(1-Pn)=-Pn+(n∈N*),(4分)
则Pn+1-=-.(5分)
因为第一次由甲组开始,则P1=1,
所以是首项为,公比为-的等比数列,
所以Pn-=,
即Pn=+.(7分)
(Ⅱ)由于第1次由甲组答题,则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可,所以所求概率P=P1P2(1-P3)(1-P4)+P1(1-P2)P3(1-P4)+P1(1-P2)(1-P3)P4,(9分)
由(Ⅰ)可知P2=,P3=,P4=,(10分)
所以P=.(12分)
21.解:(Ⅰ)由题意及三角形内切圆的性质可得
·2c·b=(2a+2c)·,化简得=. ①(2分)
又 |AB|=2a=4,
所以 a=2,c=1,b==,(4分)
所以椭圆E的标准方程为+=1.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-1,0),B(2,0),由题意,直线CD的斜率不为0,
设直线CD的方程为x=my-1,
代入椭圆E的方程+=1,
整理得(3m2+4)y2-6my-9=0.(6分)
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=-, ②
直线BC:y=(x-2).
令x=-4,得N,(7分)
同理可得M,(8分)
所以以MN为直径的圆的方程为
(x+4)(x+4)+=0,
即x2+8x+16+y2+y+=0, ③
由②得y1+y2=-my1y2,
代入③得圆的方程为x2+8x+7+y2-6my=0.(10分)
若圆过定点,则(11分)
解得或
所以以MN为直径的圆恒过两定点(-7,0),(-1,0).(12分)
22.解:(Ⅰ)证明:当x≥-1时,>0,
∴<=+1.(2分)
(Ⅱ)当x>a时,f(x)>0恒成立,
∴函数f(x)没有零点;
当x<a时,f(x)=ex+=.
令h(x)=ex(x-a)+1,
则h′(x)=ex(x-a+1),
易知h′(a-1)=0,
∴当x∈(-∞,a-1)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(a-1,a)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
∴函数h(x)在(-∞,a)上的最小值为
h(a-1)=1-ea-1.
显然,当a=1时,h(a-1)=0,
∴x=a-1是函数f(x)的唯一的零点;
当a<1时,h(a-1)=1-ea-1>0,
∴函数f(x)没有零点;
当a>1时,h(a-1)=1-ea-1<0,
∴函数f(x)有两个零点.(6分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知当x>0时,<+1,
∴只需证当x>0时,ex>(x+2)+x2-4.(8分)
设M(x)=ex-(x+2)-x2+4=ex-x2-2x+2,
则M′(x)=ex-2x-2.
令φ(x)=ex-2x-2,
则φ′(x)=ex-2,
易知φ(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.
∵φ(1)φ(2)<0,
∴M′(x)在(0,+∞)上只有一个零点x0(1<x0<2),
即ex0-2x0-2=0,(10分)
∴M(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴M(x)≥ex0-x-2x0+2=4-x>0,
∴ex>(x+2)+x2-4.
又+1>,
∴ex>(x+2)+x2-4.(12分)
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