2021省大庆中学高三下学期第一次仿真考试数学（理）试题含答案

大庆中学高三年级仿真模拟考试

理科数学试题

一、单选题

1．已知集合，则(    )

A． B． C． D．

2．若复数（为虚数单位），则（    ）．

A．1 B．2 C． D．

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则（      ）

A． B． C．28 D．24

5．关于直线、与平面、，有以下四个命题：

①若，且，则；    ②若，且，则；

③若，且，则；  ④若，且，则.

其中真命题的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

6．下列对不等关系的判断，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（  ）

A．18种 B．36种 C．54种 D．72种

8．若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天           B．1.8天           C．2.7天         D．3.6天

10．已知为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形为菱形，则双曲线的离心率（    ）

A．  B． C． D．

11．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．

①            ② 

③        ④

A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④

二、填空题

13．已知函数，则在处的切线斜率为___________.

14．已知中，，满足，则的面积为______．

15．某校一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

16．已知圆，点，若上存在两点满足,则实数的取值范围                 .

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17在数列中，；

（1）求；（2）令，求数列的前项和.

18．如图，棱锥中，底面，四边形

为矩形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19．排球比赛按“五局三胜制的规则进行（即先胜三局的一方获胜，比赛结束），且各局之间互不影响.根据两队以往交战成绩分析，乙队在前四局的比赛中每局获胜的概率是，但前四局打成2：2的情况下，在第五局中甲队凭借过硬的心理素质，获胜的概率为.若甲队与乙队下次在比赛上相遇.

（1）求甲队以3：1获胜的概率；

（2）设甲的净胜局数（例如：甲队以3：1获胜，则甲队的净胜局数为2，乙队的净胜局数为﹣2）为ξ，求ξ的分布列及.

20．已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.

21．已知函数.

（1）若是单调函数，求的取值范围；

（2）若存在两个极值点，且，求的最小值.

请在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若射线：（，）与曲线和分别交于异于原点的点，，求取值范围．

23．已知函数（其中）．

（1）当时，求证：；

（2）当时，解关于的不等式．

理科数学答案

选择

BDCAD  CCBDA  BB

填空

13．  14．   15．  16.

解答题

17.(1)  （2）

18． （1）证明：因为平面，平面，

所以，

因为四边形为矩形，，，为的中点.

所以，，

于是，因为，

所以，所以，

因为，､平面，所以平面；

（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：

，，，

设平面和平面的法向量分别为，，

，令，，

，令，，

设二面角的平面角为，因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

19（1）甲队以3：1获胜等价于前3局中，甲2胜一负，第4局甲胜，

所以甲队以3：1获胜的概率.

（2）由题意可知，甲队和乙队的比分有如下六种0：3，1：3，2：3，3：2，3：1，3：0，

则的ξ取值有﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，

ξ＝﹣3时，，

ξ＝﹣2时，，

ξ＝﹣1时，，

ξ＝1时，，

ξ＝2时，，

ξ＝3时，，

所以ξ的分布列为：

所以.

20． （1）由题意可知，，.

设点，，，在椭圆上，所以，，

所以，所以，

因为，所以，所以，所以，

所以椭圆方程为.

（2），设直线：，联立方程得，

所以，，所以，

假设存在点，则的直线方程为，所以.

，，

若为等边三角形，则，

即，解得，此时，

所以存在点，使得为等边三角形.

21． 由题意得：函数定义域为，

（1）若是单调函数，则在上恒非负，令，在上恒成立，则或，解得：，∴的取值范围为：

（2）函数的两个极值点是方程的两根，∴，，

又，则，在上单调递减

设，由得：，设，则

在上为增函数 ，

即，的最小值为：.

22．（1）由曲线的参数方程为（为参数）

得其直角坐标方程为：（）；

由曲线：得，将代入得曲线的直角坐标方程为．

（2）∵的直角坐标方程为（），将代入得曲线的极坐标方程为．

由得，

由得，

∴，

∵，∴，

故取值范围为．

23．（1）当时，，

当时，；

当时，，；

当时，；

综上所述：；

（2），当时，；

；

当时，，由得：，恒成立，

；

当时，，由得：，解得：，

不符合，舍去；

综上所述：关于的不等式的解集为.