2021西安中学高三下学期6月第二次仿真考试数学（理）试题含答案

西安中学高2021届高三第二次仿真考试

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合}，，则(    ).

A.     B.       C   D. 

2.等比数列的公比, 其中为虚数单位，若,则(    ).

A. B. C.          D.

3. 设为两个平面，则的充要条件是(    ).

A．内有无数条直线与β平行           B．内有两条相交直线与β平行

C．平行于同一条直线               D．垂直于同一平面

4.函数的图像大致为(    ).

5.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是(    ).

A.    B.C.  D.

6. 函数和存在公共点, 则的范围为(    ).

A. (0,1)        B. (1,2)       C. (2,3)    D.(3,4)

7.某算法框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是，则整数的值为(    ).

A．6             B．7         C．8           D．9

8. 已知是第二象限角，且，则等于(    ).

A.－       B.      C.－           D.

9. 等比数列中，. 设为的前n项和，若，则的值为(    ).

A．5                B．6                  C．7                  D．8.

10.已知向量,则的面积为(    ).

A．1                B．2                  C．3                  D．4

11.甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开.若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是(    ).

A．0.5            B．0.51                C．0.75                D．0.4

12. 双曲线和抛物线相交于点,若的外接圆经过点 则抛物线的方程为(    ).

A.            B.             C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量,.若,则实数_______.  

14. 若x，y满足约束条件若函数仅在点(1,0)处取得最小值，则的取值范围为_______.

15.据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______.

16. 如图2，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥

   的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行

   的最短路程为4，则圆锥底面圆的半径等于_______.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17.（本小题满分12分）设向量

(I) 若, 求实数 的值;  

 (II) 设函数, 求的最大值.

18.（本小题满分12分）据悉，我省将从2022年开始进入“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：

Ⅰ 补全列联表，并根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”；

Ⅱ 将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

19.（本小题满分12分） 如图3，在直角梯形ABCD中，，且 现以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图4．

Ⅰ 求证：平面BEC；

(II) 求证：平面BDE；

III 求CD与平面BEC所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）如图5,椭圆的一个顶点为,离心率为.是过点且互相垂直的两条直线,其中,交圆 于A,B两点,交椭圆于另一点D.

Ⅰ求椭圆的方程;  

(II) 求面积取最大值时直线的方程.

21. （本小题满分12分）已知函数．

Ⅰ 当，求函数的图象在处的切线方程；

(II) 若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；

III已知均为正实数，且，求证．

22.（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为 为参数，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

Ⅰ 求曲线E的极坐标方程；

(II) 直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．

23.（本小题满分10分）已知为正数，．
Ⅰ若，求函数的最小值；
(II) 若且不全相等，求证：．

西安中学高2021届高三第二次仿真考试

理科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.        14. (－4,2)       15.6000     16.1

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

  17.
.

18. （Ⅰ）解析(I)根据题意补全22列联表,如下:
 

根据表中数据,可得=≈4.762>3.841,
故有95%的把提认为“选考物理与性别有关.”                        

  6分

（Ⅱ）X的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 随机变量x服从二项分布,
由题意,可得学生选考历史的概率为,且X~B(3,)，
P(X=0)==,   P(x=1)==,
P(X=2)=()'=,    P(X=3)==.
x的分布列为

期望E（x）=3×=.                                               

 12分

19.证明：取EC中点N，连接MN，BN，在中，M，N分别为ED，EC的中点， 
所以，且 
由已知，， 所以，且．
所以四边形ABNM为平行四边形． 所以．
又因为平面BEC，且平面BEC， 所以平面BEC．        

 3分

(Ⅱ)证明：在正方形ADEF中， 
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ADEF，
所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．
在直角梯形ABCD中，，，可得 
在中，， 所以 所以．
又，ED，平面BDE．所以平面BDE．        

7分

作平面BEC于点H，连接CH，则为所求的角

由知，，又平面BDE，且平面BDE，可得，

所以，

又因为平面ABCD，BD，平面ABCD，
则，，计算可得，结合，
，

又．所以，所以．   

 12分

20.(Ⅰ)由已知得到,且,结合,有椭圆的方程是;   

5分

(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;  

由,所以

,所以

,

当时等号成立,此时直线

12分

21.(Ⅰ)：当时，，则，
，，
函数的图象在处的切线方程为。         

  3分

(Ⅱ)：函数在上单调递增，在上无解， 
当时，在上无解满足，当时，只需，

函数在上单调递增，在上恒成立， 
即在上恒成立， 
设，则，
，，在上单调递增， 
在上的值域为，在上恒成立，  
综合得实数a的取值范围为；         

 7分

证明：由知，当时，在上单调递增，         
于是当时，，当时， ，         ，

即。分别令,可得三式。
三式相加得：     

 12分

22. 曲线E的参数方程为
曲线E的直角坐标方程为．

由得曲线E的极坐标方程为．     

 5分

(Ⅱ)将直线，

代入曲线E的方程得．由，解得．

设，，由韦达定理得，．

，，所以，

所以，满足．，或，
，直线l的斜率为．     

10分

23.因为，
所以，
法1：由上可得：
所以，当时，函数的最小值为2；
法2：，
当且仅当，即时取得最小值2；     

 5分
(Ⅱ)：因为a，b，c为正数，所以要证，
即证明就行了，
法1：因为，当且仅当时取等号．
又因为即 且a，b，c不全相等，所以，
即，法2：因为，当且仅当取等号，
又因为即 且a，b，c不全相等，所以，
即．       

 10分