2021襄阳四中高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试适应模拟考试（二）数学试题含答案

这是一份2021襄阳四中高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试适应模拟考试（二）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
2021普通高等学校招生全国统一考试适应模拟
本试卷共4页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则=

2.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关,某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是
A.0.20 B.0.48 C.0.60 D.0.75
3.设a∈R,则“a=1”是“直线ax+2y-4=0与直线x+(a+1)y+2=0平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.小明要作一个三角形,使它的三条高的长度分别为则小明所作的三角形是
A.不存在的B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形
5.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...,这就是著名的斐波那契数项，它的递推公式是其中,若从该数列的前120中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为
A. B. D.
6.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式的解集为

7.若矩形ABCD的面积是4,沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积最小值为
A. B. D.
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是
A.函数f(x)在上单调递增
B.函数f(x)的图象关于点成中心对称
C.函数f(x)的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称
D.若圆的半径为则函数f(x)的解析式为

二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单,但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费,被
倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣,浪费可耻”的氛围,某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人,制成如下表所示的列联表,通过计算得到的观测值为9.已知则下列判断正确的是

认可
不认可
40岁以下
20
20
40岁以上(含40岁)
40
10
A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动
B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”
C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
10.如图所示是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是

A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直
11.下列关于曲线C:的真命题是
A.曲线C关于直线x=2对称
B.曲线C关于点(2,-1)对称
C.曲线C不经过第三象限
D.曲线C上的整点(横、纵坐标都是整数的点)个数是2
12.一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:
(1)X⊆C;(2)∀a,b∈X对某种规定的运算a⊕b,都有a⊕b∈X.
则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是
A.,其中i是虚数单位,规定运算:a⊕b=a×b,(∀a,b∈X)
B.规定运算:
C.,规定运算:a⊕b=a×b,(∀a,b∈X)
D.,规定运算:a⊕b=a+b,(∀a,b∈X)
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量夹角为45°,且________.
4.若正整数m满足则m=________.(参考数据:lg2≈0.3010)
15.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即:甲、、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 地支有十二,即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表:
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
甲

丙
…
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲
子
年
乙
丑
年
丙
寅
年
丁
卯
年
戊
辰
年
己
巳
年
庚
午
年
辛
未
年
壬
申
年
癸
酉
年
甲
戌
年
乙
亥
年
丙
子
年
…

2049年是新中国成立100周年.这一百年,中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法,2049年是己巳年,则2059年是____年;使用干支纪年法可以得到___种不同的干支纪年.
16.设点P在曲线上,点Q在曲线上,则|PQ|的最小值为_____.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知：f(
(I)求函数f(x)的单调递增区间；
(II)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(12分)
某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润情况如下表所示：

第1个月
第2个月
第3个月
第4个月
第5个月
利润(单位：万元)
1
11
27
51
80
设第t个月的利润为y万元．
(I) 根据表中数据，求y关于t的回归方程(注：的值要求保留小数点后两位有效数字)
(II)根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证， 方法如下：先计算新数据对应的残差再计算说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为120万元，试判断(I)中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．
参考数据：
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

19．(12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，底面，E是PC上的一点，PE＝2EC．
(I)证明：PC⊥平面BED；
(II)设二面角A－PB－C的大小为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中:
①已知点A(,0),直线动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比；
②己知点S,T分别在x轴,y轴上运动,且|ST|=3,动点P满;
③已知圆C的方程为直线l为圆C的切线,记点到直线l的距离分别为动点P满足
(I) 在①,②,③这三个条件中任选-一个,求动点P的轨迹方程;
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
(II)记(I)中动点P的轨迹为E,经过点D(1,0)的直线l’交E于M,N两点,若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.

21.(12分)
已知
(I)判断f(x)的零点个数,并说明理由;
(II)若对∀x∈(0,+∞),f(x)≥a(x+2lnx)恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)
已知正项数列的前n项和满足
数列满足
(I)求数列的通项公式
(II)试问:数列是否构成等比数列(注:是数列的前n项和)?请说明理由;
(III)若是否存在正整数n,使得成立?若存在求所有的正整数n;否则,请说明理由.


2021年普通高等学校招生全国统一考试适应模拟
数学参考答案

一、单项选择题：
1——4．BDCD． 5——8．ADBD
2．【解析】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.故选：D.
3．【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 ．所以是充分必要条件．
4．【提示】面积法转化．7．【提示】图像法转化．
8．【解析】由图易得点C的横坐标为，所以的周期T＝π，所以ω＝2，又，所以，因此．函数的图象不关于点成中心对称．若圆半径为，则，∴，函数的解析式为，故选D．

二、多项选择题：
9．AC． 10．BCD． 11．AC． 12． ABCD
9．【答案】AC．【解析】∵K2的观测值为9，且P（K2≥6.635）＝0.010，P（K2≥10.828）＝0.001，
又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，
或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，
所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，
所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%≈66.7%，
故选项A正确，选项B错误，故选：AC．
10．【答案】BCD．【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；与为异面直线，B正确；,，而，,
与成60°角，C正确；连接，，平面,,又与垂直,D正确.故选：BCD
11．【答案】AC．【解析】将方程整理可得，令
将换成时，即，
所以，所以曲线关于对称，所以①正确，②不正确；
当时，，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，
曲线过的整点为，，0），（2，-1）三个整数点，故④不正确，故选：AC．
12. 【答案】 ABCD【提示】集合元素设为复数的代数形式或者利用复数模的几何意义数形结合．


三、 填空题：
13.； 14.155； 15.己卯 ；60； 16.
13.【答案】．
【解析】
14.【答案】155．【提示】取对数解．
15.【答案】己卯 ；60.
【解析】解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，
地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；
其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；
故答案为：己卯，60.
16.【答案】【提示】数形结合，对称性.

四、解答题：

17.【解析】
（Ⅰ）；单调递增区间：

(Ⅱ) 由余弦定理及重要不等式，得

18.【解析】
（Ⅰ）设，则，，
则，
所以，故关于的回归方程为.
（Ⅱ）由（1）知，当时，，
因为，所以（1）中求得的回归方程可靠.
19.【解析】





解法2:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设.
(Ⅰ)证明:由得,
所以,,,
所以,
.所以,,所以平面;
(Ⅱ) 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得.
所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.

【点评】试题变化的地方就是点的位置的选择是三等分点,这样的垂直问题对于同学们来说是有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.

20.【解析】
（Ⅰ）若选①：设P(x，y)，根据题意，得＝.
整理，得＋y2＝1.所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
若选②：设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，则＝3(*).
因为＝＋，所以整理，得
代入(*)得＋y2＝1.所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
若选③：设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，则|PA|＋|PB|＝d1＋d2＝2|OH|＝4>2＝|AB|.
由椭圆的定义，知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1.
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
（Ⅱ）法一　设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0.
当直线l′的斜率存在时，若斜率为0，则线段MN的垂直平分线与y轴重合，不合题意，所以设直线l′的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立得方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
则Δ>0恒成立，且x1＋x2＝.设线段MN的中点为G(x3，y3)，
则x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝－.
所以线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－，
令x＝0，得y0＝＝.
当k<0时，＋4k≤－4，当且仅当k＝－时取等号，所以－≤y0<0；
当k>0时，＋4k≥4，当且仅当k＝时取等号，所以0 综上所述，点Q纵坐标的取值范围是.
法二　设Q(0，y0) ，由题意，得直线l′的斜率不为0，设直线l′的方程为x＝my＋1.若m＝0，则y0＝0. 当m≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得方程组消去x并整理，得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
则Δ>0恒成立，且y1＋y2＝－.设线段MN的中点为G(x3，y3)，则
y3＝＝－，x3＝my3＋1＝.所以线段MN的垂直平分线的方程为
y＋＝－m.令x＝0，得y0＝＝.
当m<0时，m＋≤－4，当且仅当m＝－2时取等号，所以－≤y0<0；
当m>0时，m＋≥4，当且仅当m＝2时取等号，所以0 综上所述，点Q纵坐标的取值范围是.
法三　设Q(0，y0)，当直线l′的斜率不存在时，y0＝0.
当直线l′的斜率存在时，设直线l′的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为G(x3，y3).由得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以k＝＝－＝－＝－.
线段MN的垂直平分线的方程为y－y3＝(x－x3)，
令x＝0，得y0＝－3y3.由k＝－＝，得y＝－x＋x3＝－＋，
由y>0得0 综上所述，点Q纵坐标的取值范围是.

21.【解析】
（Ⅰ）f′（x）＝2xex+x2ex＝xex（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得；﹣2＜x＜0，
故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增，
故x＝﹣2时，f（x）取极大值，f（x）的极大值是f（﹣2）＝＜0，
而f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，故f（x）只有1个零点；

（Ⅱ）由2lnx+x＝lnx2+lnex＝ln（x2ex），故原不等式等价于x2ex﹣1≥aln（x2ex），
令t＝x2ex，则t﹣1≥alnt，由（1）知：x＞0时，f（x）＞f（0），即x2ex﹣1＞﹣1，
故x2ex＞0，即t∈（0，+∞），∴t﹣1≥alnt.即t﹣alnt﹣1≥0在t∈（0，+∞）时恒成立，
令g（t）＝t﹣alnt﹣1，则g′（t）＝1﹣＝，且g（1）＝1﹣aln1﹣1＝0，
①若a≤0，则g′（t）＞0在t∈（0，+∞）时恒成立，g（t）在（0，+∞）单调递增，
∴t∈（0，1）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足g（t）≥0恒成立，
②若a＞0，令g′（t）＝0，解得：t＝a，
∴t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）递减，t∈（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）递增，
（i）若0＜a＜1，则g（t）在（a，1）上单调递增，
t∈（a，1）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足g（t）≥0恒成立，
（ii）若a＝1，则g（t）min＝g（1）＝0，g（t）≥0，
（iii）若a＞0，则g（t）在（1，a）上单调递减，
t∈（1，a）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足g（t）≥0恒成立，
综上：a＝1时，符合题意，故a的取值范围是{1}．
（注：其它方法酌情给分）
22.【解析】
（Ⅰ）由于，故；时；
作差得，
由于是正项数列，故，是等差数列，
（Ⅱ）由于，，
故由于，所以
（1）当时，，数列构成等比数列；
（2）当时，数列不构成等比数列．
（Ⅲ）若，由（Ⅱ）知 于是，所求不等式即
设，则
故
同理，有

由于，故而只能有.

于是，

综上所述，所有符合条件的正整数只有