2022届江西省南昌市第十中学高三下学期高考仿真模拟考试（一）数学（文）试题含解析

2022届江西省南昌市第十中学高三下学期高考仿真模拟考试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（        ）

A．（1，2） B．（1，2]

C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）

【答案】D

【分析】M集合即要求对数的真数大于0，N集合即要求偶次方根内要大于等于0.

【详解】，，

所以，

故选：D.

2．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据点的坐标求得复数，再根据复数的乘法运算，即可求得结果.

【详解】由图可知，点的坐标为，故，

则.

故选：D.

3．已知， ，若，则（       ）

A．-1 B．-1或3 C．-3或1 D．3

【答案】B

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出关于m的方程，求得答案.

【详解】由可得：，

即 ，解得 或 ，

故选：B

4．直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的半径为（       ）

A．4 B．8 C．10 D．12

【答案】A

【分析】注意到AB为过焦点的弦，故可直接用公式计算.

【详解】直线刚好经过抛物线C的焦点（1，0），故，

所以以为直径的圆的半径为4.

故选：A.

5．已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用与的关系，得到，进而利用等差数列的性质进行判断即可

【详解】已知，所以，当时，

，

所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件

故选：A

6．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1-60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（　　）

A．28 B．23 C．18 D．13

【答案】C

【详解】抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，故选C．

7．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项错误的为（　　）

A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n

C．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β

D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α

【答案】B

【分析】可以在长方体中寻找反例或用定理概念证明.

【详解】对于A选项，∵m⊥α，α⊥β，则或，又n⊥β，∴m⊥n，故A选项正确；

对于B选项，由条件，m与β，n与α的位置关系可以平行，相交或包含，故不能判断m，n位置关系，故B选项错误；

对于C选项，∵m//α，α//β，∴m，β与α均无公共点，∴m//β或m⊂β，故C选项正确；

对于D选项，∵m⊥α，m⊥n，∴n//α或n⊂α，故D选项正确.

故选：B.

8．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可求得，进而结合二倍角公式可求得，根据角的范围可进一步求得，，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.

【详解】，，又，

，，

，解得：，

，

，，

，，

.

故选：B.

9．如果点在平面区域上，则的最小值是（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再根据表示的几何意义即可求得答案.

【详解】如图，作出表示的平面区域，图中区域，

，

而，设点 ,

即表示的是和定点的距离的平方减去1，

由图可知，联立，解得 ,而 ,

则 ，

到直线 的距离为 ,,

故当垂直于AB时， 最小，

则的最小值为 ，

故选：A

10．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设，若向三角形ABC内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据几何概型的概率公式，求出和的面积，计算所求的概率值．

【详解】由题意，，，

，，由余弦定理可得，

，

，

芝麻落在阴影部分的概率为 ．

故选：．

11．已知是双曲线：的右焦点，直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，，的中点分别为，，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设位于第一象限，由，得到，连接，得到，

根据题意得到，求得，得出的值，

结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.

【详解】如图所示，不妨设点位于第一象限，因为，所以，

设为双曲线的左焦点，连接，

因为，，分别为，，的中点，所以，，

所以，所以，所以，

又直线的方程为，所以，

所以，得，

所以，，

所以，

，

由双曲线的定义可知，

所以双曲线的离心率．

故选：A

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

12．已知函数有两个极值点 ，则下列说法错误的是（　　）

A．

B．曲线 在点 处的切线可能与直线垂直

C．  

D．  

【答案】B

【分析】对于A,求出函数的导数，根据函数有两个极值点，得到导数有两个变号零点，从而可求 参数的取值范围，判断A;对于B,根据导数的几何意义可求得切线的斜率，判断B;对于C，由，即，利用整体代换思想得到，结合二次函数性质得到，判断C;对于D，由，即，利用整体代换思想，结合换元法，构造函数，即可判断D.

【详解】对于A，由题意得 ，

令 ，

当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，

故 ，由题意知有两个变号零点，

故，即，故A正确；

对于B，线 在点 处的切线的斜率为 ，

该切线如果与垂直，则斜率为-1，即 ，与矛盾，故B错误；

对于C，由题意可知，即，

则，

由A项分析可知 ，根据二次函数的性质可得 ，

故C正确；

对于D，由题意知，，即，

则 ，即 ，

要整，只需证 ，即证，

设 ，则只需证 ，

令 ， ，

故是单调增函数，则，

故成立，故D正确，

故选：B

【点睛】本题考查了导数的应用，涉及到导数几何意义和零点问题以及证明不等式问题，综合性较强，思维能力要求较高，解答的关键是D选项的判断，要注意对等式的合理变式，从而构造函数，利用导数判断单调性.

二、填空题

13．已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______．

【答案】

【分析】利用等比数列片段和的性质可求得的值.

【详解】设等比数列的公比为.

若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，

由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，

且公比为，所以，，，

因此，.

故答案为：.

14．已知函数为偶函数，则的值为_________．

【答案】

【分析】利用偶函数的定义化简变形即可.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

则有=，得，则有.

故答案为：.

15．锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据正弦定理表示出，，从而表示出，根据角的范围结合三角恒等变换求得答案.

【详解】由已知得， ,

在中，由正弦定理得， ,

同理可得 ,

故,

而

，

因为锐角中， ,

故，则，，

故，

故答案为：

16．点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为________．

【答案】

【分析】三角形为正三角形，其外接圆的半径为1，根据四面体体积的最大值为，得到球的半径，进而可以求其表面积．

【详解】依题意，三角形为正三角形，面积为，

设四面体的高为，则，解得，

设球心为O, 三角形的外接圆圆心，当四面体体积最大时，三点共线，如图，

三角形所在平面截球得到的圆为三角形的外接圆，其半径，

连接球心和三角形的外接圆圆心，则平面，设球的半径为，

，

，解得，

这个球的表面积为，

故答案为：

三、解答题

17．若数列满足：，，对于任意的，都有.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得，即可得证；

（2）由数列为等比数列，可得数列的通项公式，再利用构造法求得数列的通项公式.

【详解】(1)由，得，

且，

所以数列为等比数列，首项为，公比为

(2)由（1）得，

等式左右两边同时除以可得：，即，

且，

所以数列为等差数列，首项为，公差为，

所以，

所以.

18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M为EF中点，求M到平面ADE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证平面，可证平面即可，通过勾股定理可证明

，再利用线面垂直可证，于是得证；

（2）设到平面的距离为，由平面，结合为中点，得出到平面的距离为，再由等体积法得出M到平面ADE的距离.

【详解】(1)证明：在梯形中，∵，设

又∵，∴

∴

∴，则

∵平面，平面

∴，而

∴平面

∵，∴平面

(2)，平面，平面，

，平面，平面，平面

设到平面的距离为

为中点，到平面的距离为

，

即到平面的距离为

19．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

(3)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.

【答案】(1)70.5

(2)71.67

(3)0.6

【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算公式可得；

（2）根据频率分布直方图中中位数计算公式可得；

（3）先计算每个分组中的人数，再根据分层抽样的方法选出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再计算两组各有一人被抽取的概率.

【详解】(1)由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

(2)因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为

(3)在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两组各有一人被抽取的概率为.

20．已知函数，a>0.

(1)求函数的最值；

(2)当a>1时，证明：函数有两个零点.

【答案】(1)最大值为，没有最小值

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知函数进行求导，然后进行因式分解，构造函数，并判断其单调性以及其零点所在的范围，利用其零点满足的等量关系带入原函数去求解最值即可；

（2）根据已知函数的最大值，结合a的取值范围，判断其最大值的大小，然后在极值点两边所在的区间进行取值，通过赋值，并带入原函数判断大小，即可确定零点个数.

【详解】(1)，

由于，，所以，

设，则，

故函数在区间上单调递减，由于，，

故存在，使.

故当，，则，当时，，则，

从而存在，的单增区间为，单减区间为.

函数的最大值为，

由于，所以，

故.

所以函数的最大值为，没有最小值.

(2)设＞1），则，

当时，，故在上单调递增，

故，即.

当时，由（1）知，由于，

由（1）知，且，，故，

即，所以，

且，

而，

故函数有两个零点.

【点睛】再计算隐零点相关的题目中，可借助零点所满足的等量关系，如本题，并对此式子进行变形，变成，从而带入原函数可以整替换掉，从而将原函数中进行抵消，从而得到极值.

21．已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设O为原点．求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；

（2）设，只需证明.设直线l的方程为，联立椭圆方程得韦达定理，根据三点共线得到，，求出即得证.

【详解】(1)解：由题得

所以椭圆E的方程为.

(2)解：要证，只需证，

只需证明只需证明

只需证明

设，只需证明只需证明.

设直线l的方程为，

联立椭圆方程得，

设，所以，

又三点共线，所以，同理，

所以，

所以

所以.

所以.

22．已知直线（其中常数，为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线相切于点.

(1)求的值；

(2)若点为曲线上一点，求的面积取最大值时点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将直线、曲线的方程均化为普通方程，可知曲线为圆，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，结合可求得实数的值；

（2）联立直线与曲线的普通方程，可得出点的坐标，求出直线的方程，设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合三角恒等变换可求得点到直线的距离的最大值，可求得的值，即可求得点的坐标.

【详解】(1)解：由已知可得直线的普通方程为，

曲线的极坐标方程可化为，即，

所以，曲线的直角坐标方程为，

所以，曲线是以点为圆心，半径为的圆，

根据点到直线的距离公式可知，因为，解得.

(2)解：联立，解得，即点，

所以，直线的方程为，而且弦的长度一定，

要使的面积最大，只需点到直线的距离最大，

设，则点到直线的距离为，

所以当时，即当hi，即时，

点到直线的距离最大，此时点的坐标为.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)设函数的最小值为，正实数，满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值分段讨论

（2）分段讨论后求出的值，然后利用基本不等式求出的范围

【详解】(1)由条件可知原不等式可化为

①，②，③，

解①得；解②得；解③得，

所以原不等式的解集为.

(2)因，

所以当时，函数的最小值为，于是，

∵a>0，b>0，而，于是.

∵

∴，原不等式得证