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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第十章 概率、随机变量及其分布 10.6 离散型随机变量的数字特征 最后俩没粘答案
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第十章 概率、随机变量及其分布 10.6 离散型随机变量的数字特征 最后俩没粘答案，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，平均取值，aEx+b，a2DX，p1-p，np1-p，常用结论等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题16—— 超几何分布的均值与方差
案例探究(五) 概率与函数、导数、数列、不等式的综合问题
1.均值或数学期望(1)定义:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则称E(X)= = 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)意义:它刻画了X的 . (3)性质:若X与Y都是随机变量,且Y=ax+b(a≠0),则E(Y)= .
x1p1+x2p2+…+xnpn
温馨提示随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数,假设随机试验进行了n次,根据X的概率分布,在n次试验中,x1出现了p1n次,x2出现了p2n次,…,xn出现了pnn次,故在n次试验中,X出现的总次数为p1nx1+p2nx2+…+pnnxn.因此n次试验中,X出现的平均值等于故E(X)=p1x1+p2x2+…+pnxn.
2.两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)= ; (2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)= ; (3)若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= .
3.离散型随机变量的方差与标准差(1)定义:如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.则D(X)= = ,称为离散型随机变量X的方差; 称为离散型随机变量X的标准差. (2)意义:方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的 程度(或波动大小). (3)性质:若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)= .
[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
4.两点分布及二项分布的方差(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)= . (2)若随机变量X~B(n,p),则D(X)= .
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( )(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
2.(2020江苏镇江高三检测)若X~B(80, ),则D(X)=( )A.20B.40C.15D.30
3.已知X的分布列为:设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
4.设0
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).
对点训练1某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
【例2】 一个盒子中装有大量形状、大小一样,质量不完全相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到样本的频率分布直方图,如图.
(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望以及方差(以直方图中的频率作为概率).
解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
对点训练2(2019天津,16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
【例3】 某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
对点训练3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及均值;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
【例】 已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是 ,方差是 . 答案0.3 0.264 5
从而E(ξ)=0×0.726 5+1×0.247 7+2×0.025 0+3×0.000 8=0.300 1≈0.3,D(ξ)≈(0-0.3)2×0.726 5+(1-0.3)2×0.247 7+(2-0.3)2×0.025 0+(3-0.3)2×0.000 8≈0.264 5.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,
解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式 比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.
对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值与方差;(3)求ξ≤1的概率.
概率问题与现实生活联系密切,所以高考等各类综合考试中常以实际应用题形式呈现,多为解答题,有较大的阅读量,与社会热点问题紧密结合,考查概率与统计中的众多知识.有时也会与函数、导数、数列、不等式等知识综合命题,考查形式新颖,有一定的难度.
【例】 某病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0
则当a=10,n=6时,E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6 480.∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.
对点训练1(2020山东日照高三检测)某种疾病可分为Ⅰ,Ⅱ两种类型,为了解该疾病类型与性别的关系,在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查,其中男性人数为z,女性人数为2z,男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的 ,女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的 .(1)完成2×2列联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,求男性患者至少有多少人?
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物,两个团队各最多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费m(m>0)元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p,根据以往试验统计,甲团队平均花费为-2mp2+6m;乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q,每个周期必须完成3次接种,若一个周期内至少出现2次抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若p=2q,从两个团队试验的平均花费考虑,该公司应选择哪个团队进行药品研发?
解(1)2×2列联表如下:
对点训练2(2020山东滕州高三检测)随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进.若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元.已知骰子出现奇数与偶数的概率都是 ,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从k到k+1)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从k到k+2),直到遥控车移到第19格(胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束.设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn,试证明 是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
素养提升微专题16—— 超几何分布的均值与方差
案例探究(五) 概率与函数、导数、数列、不等式的综合问题
1.均值或数学期望(1)定义:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则称E(X)= = 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)意义:它刻画了X的 . (3)性质:若X与Y都是随机变量,且Y=ax+b(a≠0),则E(Y)= .
x1p1+x2p2+…+xnpn
温馨提示随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数,假设随机试验进行了n次,根据X的概率分布,在n次试验中,x1出现了p1n次,x2出现了p2n次,…,xn出现了pnn次,故在n次试验中,X出现的总次数为p1nx1+p2nx2+…+pnnxn.因此n次试验中,X出现的平均值等于故E(X)=p1x1+p2x2+…+pnxn.
2.两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)= ; (2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)= ; (3)若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= .
3.离散型随机变量的方差与标准差(1)定义:如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.则D(X)= = ,称为离散型随机变量X的方差; 称为离散型随机变量X的标准差. (2)意义:方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的 程度(或波动大小). (3)性质:若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)= .
[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
4.两点分布及二项分布的方差(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)= . (2)若随机变量X~B(n,p),则D(X)= .
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( )(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
2.(2020江苏镇江高三检测)若X~B(80, ),则D(X)=( )A.20B.40C.15D.30
3.已知X的分布列为:设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
4.设0
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).
对点训练1某投资公司在2020年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
【例2】 一个盒子中装有大量形状、大小一样,质量不完全相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到样本的频率分布直方图,如图.
(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望以及方差(以直方图中的频率作为概率).
解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
对点训练2(2019天津,16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
【例3】 某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
对点训练3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及均值;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
【例】 已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是 ,方差是 . 答案0.3 0.264 5
从而E(ξ)=0×0.726 5+1×0.247 7+2×0.025 0+3×0.000 8=0.300 1≈0.3,D(ξ)≈(0-0.3)2×0.726 5+(1-0.3)2×0.247 7+(2-0.3)2×0.025 0+(3-0.3)2×0.000 8≈0.264 5.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,
解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式 比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.
对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值与方差;(3)求ξ≤1的概率.
概率问题与现实生活联系密切,所以高考等各类综合考试中常以实际应用题形式呈现,多为解答题,有较大的阅读量,与社会热点问题紧密结合,考查概率与统计中的众多知识.有时也会与函数、导数、数列、不等式等知识综合命题,考查形式新颖,有一定的难度.
【例】 某病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0
则当a=10,n=6时,E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6 480.∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.
对点训练1(2020山东日照高三检测)某种疾病可分为Ⅰ,Ⅱ两种类型,为了解该疾病类型与性别的关系,在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查,其中男性人数为z,女性人数为2z,男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的 ,女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的 .(1)完成2×2列联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,求男性患者至少有多少人?
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物,两个团队各最多安排2个接种周期进行试验.每人每次接种花费m(m>0)元.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p,根据以往试验统计,甲团队平均花费为-2mp2+6m;乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q,每个周期必须完成3次接种,若一个周期内至少出现2次抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若p=2q,从两个团队试验的平均花费考虑,该公司应选择哪个团队进行药品研发?
解(1)2×2列联表如下:
对点训练2(2020山东滕州高三检测)随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进.若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元.已知骰子出现奇数与偶数的概率都是 ,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从k到k+1)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从k到k+2),直到遥控车移到第19格(胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束.设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn,试证明 是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
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