2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第六章　数列 6.1　数列的概念

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1.数列的有关概念及一般形式
3.数列的通项公式一般地,如果数列的第n项an与　　　之间的关系可以用　　　　　来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称此关系式为这个数列的一个通项公式. 4.数列与函数的关系数列{an}可以看成定义域为　 　　　　　的函数,数列中的数就是自变量　　　　 　　取正整数值时对应的函数值,而数列的　　　　　　也就是相应函数的解析式. 
5.数列的递推公式如果已知数列的　　　　(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用　　　　　　来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).  
温馨提示 数列递推公式与通项公式的关系
6.数列的前n项和(1)一般地,给定数列{an},称Sn=　　　　　　　　为数列{an}的前n项和. (2)Sn与an的关系
a1+a2+a3+…+an　
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.(　　)(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(　　)(3)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点.(　　)(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.(　　)(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
2.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是(　　)A.21B.33C.152D.153
答案 C　解析依次令an=21,33,152,153,如果能得到正整数解,则是数列中的项,否则不是.对于选项A,21=9+12n,得n=1;对于选项B,33=9+12n,得n=2;
3.已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式不可能是(　　)
5.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2-n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 
解析 由题意,可知当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.
【例1】根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;
解 (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).
解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.
答案 (1)C　(2)C　(3)D　解析(1)方法一(直接法)　先将各项统一为分式,由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,故a1的分母为1,an的分母为2n-1.由第2,3,4项的分子可知,通项公式的分子为偶数0,2,4,6,…,故a1的分子为0,an的分子为2(n-1).
由an与Sn的关系求通项公式an
【例2】 (1)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an=　　　　. (2)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=　　　　. (3)已知Sn为数列{an}的前n项和,且lg2(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　. 
解析 (1)∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,∴an=-1×2n-1=-2n-1.
(2)当n=1时,由已知,可得a1=21=2.∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1.
(3)由lg2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,显然当n=1时,不满足上式.
解题心得1.已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=4- (n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1,则a10=(　　)A.128D.1 024
(2)∵Sn+1=2Sn-1,当n≥2时,Sn=2Sn-1-1,两式相减得an+1=2an.当n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.则a10=a2×28=1×28=256,故选B.
【例3】 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=　　　　. 
(4)∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2,故an+2-an=2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.∵an+1+an=2n,a1=1,∴a2=1.
解题心得由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(2)已知数列{an}满足a1=2,an+1= (an>0,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　. (3)(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an=　　　　. (4)若a1=1,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式an=　　　. 
考向1　数列的周期性
解题心得解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
考向2　数列的单调性【例5】 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且an=2n+λ,若数列{Sn}(n≥7,n∈N*)为递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　　　. 
答案(1)(-16,+∞)　(2)D　解析 (1)当n≥7时,数列{Sn}为递增数列,设Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,∴an+1=2(n+1)+λ>0,则λ>-2n-2.又n≥7,∴-2n-2≤-16,即λ>-16.(2)由于{an}是递增数列,所以a>1,且a2>a1,即a2>2a+3,解得a3,所以a>3.
解题心得 解决数列的单调性问题的三种方法
考向3　数列的最大(小)项
答案 (1)C　(2)A　
解题心得求数列的最大项、最小项的常用思想(1)利用“两边夹”思想(2)利用函数思想①构造函数,确定函数的单调性,再求出数列的最大(小)项.②根据{an}对应函数的单调性确定,递增数列:a1an,故(an)max=a1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是(　　)A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项