2021-2022学年吉林省长春外国语校中考数学模拟试题含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.已知:如图是y=ax2+2x﹣1的图象,那么ax2+2x﹣1=0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标( )
A. B.
C. D.
2.如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了( )
A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米
4.实数﹣5.22的绝对值是( )
A.5.22 B.﹣5.22 C.±5.22 D.
5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.如图,一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成,则这个几何体的左视图的面积为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.a≠0,函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=-1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2-4ac>0;③ab<0;④a2-ab+ac<0,其中正确的结论有( )个.
A.3 B.4 C.2 D.1
9.一个两位数,它的十位数字是3,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1﹣6)朝上一面的数字,任意抛掷这枚骰子一次,得到的两位数是3的倍数的概率等于( )
A. B. C. D.
10.下列各类数中,与数轴上的点存在一一对应关系的是( )
A.有理数 B.实数 C.分数 D.整数
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=的图象上.若x1x2=﹣4,则y1y2的值为______.
12.因式分解a3-6a2+9a=_____.
13.如图,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,AC=AD,BC>AB,AB∥CD,AB=4,BD=2,tan∠BAC=3,则线段BC的长是_____.
14.一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的顶点C1的坐标是(﹣,0),∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的顶点D2018纵坐标是_____.
15.如果分式的值为0,那么x的值为___________.
16.如果a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数如:2的差倒数是,-1的差倒数是,已知,是的差倒数,是的差倒数,是的差倒数,…,依此类推,则 ___________ .
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)已知:二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求△ABC的面积.
18.(8分)问题探究
(1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,则线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ;
(2)如图②,在△ADC中,AD=2,CD=4,∠ADC是一个不固定的角,以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC,连接BD,则BD的长是否存在最大值?若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由;
问题解决
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,BC=4,若BD⊥CD,垂足为点D,则对角线AC的长是否存在最大值?若存在,请求出其最大值;若不存在,请说明理由.
19.(8分)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计).
20.(8分)画出二次函数y=(x﹣1)2的图象.
21.(8分)每年4月23日是世界读书日,某校为了解学生课外阅读情况,随机抽取20名学生,对每人每周用于课外阅读的平均时间(单位:min)进行调查,过程如下:
收集数据:
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据:
课外阅读平均时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
分析数据:
平均数
中位数
众数
80
m
n
请根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ;m= ,n= ;
(2)已知该校学生500人,若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80min为达标,请估计达标的学生数;
(3)设阅读一本课外书的平均时间为260min,请选择适当的统计量,估计该校学生每人一年(按52周计)平均阅读多少本课外书?
22.(10分)如图,已知△ABC,请用尺规作图,使得圆心到△ABC各边距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
23.(12分)随着移动计算技术和无线网络的快速发展,移动学习方式越来越引起人们的关注,某校计划将这种学习方式应用到教育学中,从全校1500名学生中随机抽取了部分学生,对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查,并绘制出如下的统计图①和图②,根据相关信息,解答下列问题:本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值为 ;求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数;根据样本数据,估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数.
24.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、C
【解析】
由原抛物线与x轴的交点位于y轴的两端,可排除A、D选项;
B、方程ax2+2x﹣1=0有两个不等实根,且负根的绝对值大于正根的绝对值,B不符合题意;
C、抛物线y=ax2与直线y=﹣2x+1的交点,即交点的横坐标为方程ax2+2x﹣1=0的根,C符合题意.此题得解.
【详解】
∵抛物线y=ax2+2x﹣1与x轴的交点位于y轴的两端,
∴A、D选项不符合题意;
B、∵方程ax2+2x﹣1=0有两个不等实根,且负根的绝对值大于正根的绝对值,
∴B选项不符合题意;
C、图中交点的横坐标为方程ax2+2x﹣1=0的根(抛物线y=ax2与直线y=﹣2x+1的交点),
∴C选项符合题意.
故选:C.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象与位置变化,逐一分析四个选项中的图形是解题的关键.
2、B
【解析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ,根据三角形中位线定理计算即可.
【详解】
解:∵半径OC垂直于弦AB,
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中,OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2,
解得,OA=4
∴OD=OC-CD=3,
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
3、B
【解析】
试题分析:要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC和CE的长即可.
解:在Rt△ACB中,AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=1,
∴AC=2,
∵BD=0.9,
∴CD=2.1.
在Rt△ECD中,EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.12=0.19,
∴EC=0.7,
∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.2.
故选B.
考点:勾股定理的应用.
4、A
【解析】
根据绝对值的性质进行解答即可.
【详解】
实数﹣5.1的绝对值是5.1.
故选A.
【点睛】
本题考查的是实数的性质,熟知绝对值的性质是解答此题的关键.
5、B
【解析】
试题分析:根据题意得△=32﹣4m>0,
解得m<.
故选B.
考点:根的判别式.
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
6、C
【解析】
根据左视图是从左面看到的图形求解即可.
【详解】
从左面看,可以看到3个正方形,面积为3,
故选:C.
【点睛】
本题考查三视图的知识,解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图,从上面看到的图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图.
7、D
【解析】
分a>0和a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项
【详解】
当a>0时,函数y= 的图象位于一、三象限,y=﹣ax2+a的开口向下,交y轴的正半轴,没有符合的选项,
当a<0时,函数y=的图象位于二、四象限,y=﹣ax2+a的开口向上,交y轴的负半轴,D选项符合;
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识,解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置,难度不大.
8、A
【解析】
利用抛物线的对称性可确定A点坐标为(-3,0),则可对①进行判断;利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断;由抛物线开口向下得到a>0,再利用对称轴方程得到b=2a>0,则可对③进行判断;利用x=-1时,y<0,即a-b+c<0和a>0可对④进行判断.
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,点B的坐标为(1,0),
∴A(-3,0),
∴AB=1-(-3)=4,所以①正确;
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴△=b2-4ac>0,所以②正确;
∵抛物线开口向下,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,
∴b=2a>0,
∴ab>0,所以③错误;
∵x=-1时,y<0,
∴a-b+c<0,
而a>0,
∴a(a-b+c)<0,所以④正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.也考查了二次函数的性质.
9、B
【解析】
直接得出两位数是3的倍数的个数,再利用概率公式求出答案.
【详解】
∵一枚质地均匀的骰子,其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次,
十位数为3,则两位数是3的倍数的个数为2.
∴得到的两位数是3的倍数的概率为: =.
故答案选:B.
【点睛】
本题考查了概率的知识点,解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可.
10、B
【解析】
根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答.
【详解】
实数与数轴上的点存在一一对应关系,
故选:B.
【点睛】
本题考查了实数与数轴上点的关系,每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示,反过来,数轴上的每个点都表示一个唯一的实数,也就是说实数与数轴上的点一一对应.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、﹣1.
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 再把它们相乘,然后把代入计算即可.
【详解】
根据题意得
所以
故答案为:−1.
【点睛】
考查反比例函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入反比例函数解析式得到是解题的关键.
12、a(a-3)2
【解析】
根据因式分解的方法与步骤,先提取公因式,再根据完全平方公式分解即可.
【详解】
解:
故答案为:.
【点睛】
本题考查因式分解的方法与步骤,熟练掌握方法与步骤是解答关键.
13、6
【解析】
作DE⊥AB,交BA的延长线于E,作CF⊥AB,可得DE=CF,且AC=AD,可证Rt△ADE≌Rt△AFC,可得AE=AF,∠DAE=∠BAC,根据tan∠BAC=∠DAE=,可设DE=3a,AE=a,根据勾股定理可求a的值,由此可得BF,CF的值.再根据勾股定理求BC的长.
【详解】
如图:
作DE⊥AB,交BA的延长线于E,作CF⊥AB,
∵AB∥CD,DE⊥AB⊥,CF⊥AB
∴CF=DE,且AC=AD
∴Rt△ADE≌Rt△AFC
∴AE=AF,∠DAE=∠BAC
∵tan∠BAC=3
∴tan∠DAE=3
∴设AE=a,DE=3a
在Rt△BDE中,BD2=DE2+BE2
∴52=(4+a)2+27a2
解得a1=1,a2=-(不合题意舍去)
∴AE=1=AF,DE=3=CF
∴BF=AB-AF=3
在Rt△BFC中,BC==6
【点睛】
本题是解直角三角形问题,恰当地构建辅助线是本题的关键,利用三角形全等证明边相等,并借助同角的三角函数值求线段的长,与勾股定理相结合,依次求出各边的长即可.
14、×()2
【解析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长,进而得出变化规律即可得出答案.
【详解】
解:∵∠B1C1O=60°,C1O=,
∴B1C1=1,∠D1C1E1=30°,
∵sin∠D1C1E1=,
∴D1E1=,
∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥…
∴60°=∠B1C1O=∠B2C2O=∠B3C3O=…
∴B2C2=,B3C3=.
故正方形AnBnCnDn的边长=()n-1.
∴B2018C2018=()2.
∴D2018E2018=×()2,
∴D的纵坐标为×()2,
故答案为×()2.
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系,得出正方形的边长变化规律是解题关键
15、4
【解析】
∵,
∴x-4=0,x+2≠0,
解得:x=4,
故答案为4.
16、.
【解析】
利用规定的运算方法,分别算得a1,a2,a3,a4…找出运算结果的循环规律,利用规律解决问题.
【详解】
∵a1=4
a2=,
a3=,
a4=,
…
数列以4,−三个数依次不断循环,
∵2019÷3=673,
∴a2019=a3=,
故答案为:.
【点睛】
此题考查规律型:数字的变化类,倒数,解题关键在于掌握运算法则找到规律.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)y=-(x-3)2+5(2)5
【解析】
(1)设顶点式y=a(x-3)2+5,然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式;
(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3),再确定出C点坐标,然后根据三角形面积公式求解.
【详解】
(1)设此抛物线的表达式为y=a(x-3)2+5,
将点A(1,3)的坐标代入上式,得3=a(1-3)2+5,解得
∴此抛物线的表达式为
(2)∵A(1,3),抛物线的对称轴为直线x=3,
∴B(5,3).
令x=0,则
∴△ABC的面积
【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.
18、 (1)BE+DF=EF;(2)存在,BD的最大值为6;(3)存在,AC的最大值为2+2.
【解析】
(1)作辅助线,首先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AEG,进而得到EF=FG问题即可解决;
(2)将△ABD绕着点B顺时针旋转60°,得到△BCE,连接DE,由旋转可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,可得DE=BD,根据DE<DC+CE,则当D、C、E三点共线时,DE存在最大值,问题即可解决;
(3)以BC为边作等边三角形BCE,过点E作EF⊥BC于点F,连接DE,由旋转的性质得△DBE是等边三角形,则DE=AC,根据在等边三角形BCE中,EF⊥BC,可求出BF,EF,以BC为直径作⊙F,则点D在⊙F上,连接DF,可求出DF,则AC=DE≤DF+EF,代入数值即可解决问题.
【详解】
(1)如图①,延长CD至G,使得DG=BE,
∵正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠AFG=90°,
∴△ABE≌△ADG,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠GAF=∠EAF,
又∵AF=AF,
∴△AEF≌△AEG,
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF,
故答案为:BE+DF=EF;
(2)存在.
在等边三角形ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,
如图②,将△ABD绕着点B顺时针旋转60°,得到△BCE,连接DE.
由旋转可得,CE=AD=2,BD=BE,∠DBE=60°,
∴△DBE是等边三角形,
∴DE=BD,
∴在△DCE中,DE<DC+CE=4+2=6,
∴当D、C、E三点共线时,DE存在最大值,且最大值为6,
∴BD的最大值为6;
(3)存在.
如图③,以BC为边作等边三角形BCE,过点E作EF⊥BC于点F,连接DE,
∵AB=BD,∠ABC=∠DBE,BC=BE,
∴△ABC≌△DBE,
∴DE=AC,
∵在等边三角形BCE中,EF⊥BC,
∴BF=BC=2,
∴EF=BF=×2=2,
以BC为直径作⊙F,则点D在⊙F上,连接DF,
∴DF=BC=×4=2,
∴AC=DE≤DF+EF=2+2,即AC的最大值为2+2.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质,解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及旋转的性质.
19、44cm
【解析】
解:如图,
设BM与AD相交于点H,CN与AD相交于点G,
由题意得,MH=8cm,BH=40cm,则BM=32cm,
∵四边形ABCD是等腰梯形,AD=50cm,BC=20cm,
∴.
∵EF∥CD,∴△BEM∽△BAH.
∴,即,解得:EM=1.
∴EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44(cm).
答:横梁EF应为44cm.
根据等腰梯形的性质,可得AH=DG,EM=NF,先求出AH、GD的长度,再由△BEM∽△BAH,可得出EM,继而得出EF的长度.
20、见解析
【解析】
首先可得顶点坐标为(1,0),然后利用对称性列表,再描点,连线,即可作出该函数的图象.
【详解】
列表得:
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
1
4
…
如图:
.
【点睛】
此题考查了二次函数的图象.注意确定此二次函数的顶点坐标是关键.
21、(1)a=5,b=4;m=81,n=81;(2)300人;(3)16本
【解析】
(1)根据统计表收集数据可求a,b,再根据中位数、众数的定义可求m,n;
(2)达标的学生人数=总人数×达标率,依此即可求解;
(3)本题需先求出阅读课外书的总时间,再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果.
【详解】
解:(1)由统计表收集数据可知a=5,b=4,m=81,n=81;
(2)(人).
答:估计达标的学生有300人;
(3)80×52÷260=16(本).
答:估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读16本课外书.
【点睛】
本题主要考查统计表以及中位数,众数,估计达标人数等,能够从统计表中获取有效信息是解题的关键.
22、见解析
【解析】
分别作∠ABC和∠ACB的平分线,它们的交点O满足条件.
【详解】
解:如图,点O为所作.
【点睛】
本题考查了基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
23、(Ⅰ)50、31;(Ⅱ)4;3;3.1;(Ⅲ)410人.
【解析】
(Ⅰ)利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数,将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值;(Ⅱ)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可;(Ⅲ)将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解.
【详解】
解:(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为: =50(人),
∵×100=31%,
∴图①中m的值为31.
故答案为50、31;
(Ⅱ)∵这组样本数据中,4出现了16次,出现次数最多,
∴这组数据的众数为4;
∵将这组数据从小到大排列,其中处于中间的两个数均为3,有=3,
∴这组数据的中位数是3;
由条形统计图可得=3.1,
∴这组数据的平均数是3.1.
(Ⅲ)1500×18%=410(人).
答:估计该校学生家庭中;拥有3台移动设备的学生人数约为410人.
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
24、凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【解析】
分析:作PD⊥AB于D,构造出Rt△APD与Rt△BPD,根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.
【详解】
详解:作PD⊥AB于D.
设BD=x,则AD=x+1.
∵∠EAP=60°,
∴∠PAB=90°﹣60°=30°.
在Rt△BPD中,
∵∠FBP=45°,
∴∠PBD=∠BPD=45°,
∴PD=DB=x.
在Rt△APD中,
∵∠PAB=30°,
∴PD=tan30°•AD,
即DB=PD=tan30°•AD=x=(1+x),
解得:x≈273.2,
∴PD=273.2.
答:凉亭P到公路l的距离为273.2m.
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答.
吉林省长春外国语校2021-2022学年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析: 这是一份吉林省长春外国语校2021-2022学年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析,共23页。
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