2021-2022学年吉林省长春市外国语校中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列各数中是有理数的是（　　）

A．π B．0 C． D．

2．下列四个几何体，正视图与其它三个不同的几何体是（　　）

A． B．

C． D．

3．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝（　　）

A．3 B．2 C．5 D．

4．若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（-3,2a）和点（8a，-3），则a的值为（    ）

A． B． C． D．±

5．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是(      )

A．8，6    B．7，6    C．7，8    D．8，7

6．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示:

则这名运动员成绩的中位数、众数分别是（    ）

A． B． C．， D．

7．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为(　　)

A． B． C． D．

8．不等式组的解集是（　　）

A．﹣1≤x≤4 B．x＜﹣1或x≥4 C．﹣1＜x＜4 D．﹣1＜x≤4

9．y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1

10．下列运算，结果正确的是（　　）

A．m2+m2=m4 B．2m2n÷mn=4m

C．（3mn2）2=6m2n4 D．（m+2）2=m2+4

11．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（  ）

A．10 B．14 C．20 D．22

12．下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=,则cosB=_______.

14．2011年，我国汽车销量超过了18500000辆，这个数据用科学记数法表示为

　 ▲ 　辆．

15．函数y=的定义域是________．

16．已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=_____．

17．若向北走5km记作﹣5km，则+10km的含义是_____．

18．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)

20．（6分）计算：2-1+20160-3tan30°+|-|

21．（6分）甲、乙两名队员的10次射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图.

并整理分析数据如下表：

（1）求，，的值；分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

22．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择 A通道通过的概率是      ；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

23．（8分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．

24．（10分）先化简，再求值：3a（a1+1a+1）﹣1（a+1）1，其中a=1．

25．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、1．

（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为          ；

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．

26．（12分）如图，在中，以为直径的⊙交于点，过点作于点，且．

（）判断与⊙的位置关系并说明理由；

（）若，，求⊙的半径．

27．（12分）已知关于x的一元二次方程有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、B

【解析】

【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．

【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；

B、0是有理数，故本选项正确；

C、是无理数，故本选项错误；

D、是无理数，故本选项错误，

故选B．

【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．

2、C

【解析】
根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.

【详解】

解：A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的，

而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的，

故选：C．

【点睛】

此题重点考查学生对几何体三视图的理解，掌握几何体的主视图是解题的关键.

3、B

【解析】
以OM为直径作圆交⊙O于K，利用圆周角定理得到∠MKO＝90°．从而得到KM⊥OK，进而利用勾股定理求解．

【详解】

如图所示：

MK＝.

故选：B．

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

4、D

【解析】
根据一次函数的图象过原点得出一次函数式正比例函数，设一次函数的解析式为y＝kx，把点（−3，2a）与点（8a，−3）代入得出方程组 ，求出方程组的解即可．

【详解】

解：设一次函数的解析式为：y＝kx，

把点（−3，2a）与点（8a，−3）代入得出方程组 ，

由①得：，

把③代入②得： ，

解得：.

故选：D.

【点睛】

本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，主要考查学生运用性质进行计算的能力．

5、D

【解析】

试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，

8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7

考点：（1）众数；（2）中位数．

6、D

【解析】
根据中位数、众数的定义即可解决问题．

【详解】

解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.1．

故选：D．

【点睛】

本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.

7、C

【解析】

看到的棱用实线体现.故选C.

8、D

【解析】

试题分析：解不等式①可得：x＞－1，解不等式②可得：x≤4，则不等式组的解为－1＜x≤4，故选D．

9、B

【解析】

由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.

10、B

【解析】
直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案．

【详解】

A. m2+m2=2m2，故此选项错误；

B. 2m2n÷mn=4m，正确；

C. (3mn2)2=9m2n4，故此选项错误；

D. (m+2)2=m2+4m+4，故此选项错误.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则，解题的关键是熟练的掌握乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则.

11、B

【解析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，

∵AC+BD=16，

∴AO+BO=8，

∴△ABO的周长是：1．

故选B．

【点睛】

平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．

12、C

【解析】
根据同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方逐一判断即可．

【详解】

、与不是同类项，不能合并，此选项错误；

、，此选项错误；

、，此选项正确；

、，此选项错误．

故选：．

【点睛】

此题考查的是整式的运算，掌握同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方是解决此题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、．

【解析】

试题分析：解答此题要利用互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα．

试题解析：∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴cosB=sinA=．

考点：互余两角三角函数的关系．

14、2.85×2．

【解析】
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×20n，其中2≤|a|＜20，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于2还是小于2．当该数大于或等于2时，n为它的整数位数减2；当该数小于2时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的2个0）．

【详解】

解：28500000一共8位，从而28500000=2.85×2．

15、

【解析】

分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解.

详解：由题意得：x-2≠0，即.

故答案为

点睛：本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定.函数是整式型，自变量去全体实数；函数是分式型，自变量是使分母不为0 的实数；根式型的函数的自变量去根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义.

16、1

【解析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．

【详解】

根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．

则c1=4×1，c=±1，（线段是正数，负值舍去），

故c=1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．

17、向南走10km

【解析】
分析：与北相反的方向是南，由题意，负数表示向北走，则正数就表示向南走，据此得出结论.

详解：∵ 向北走5km记作﹣5km，

∴ +10km表示向南走10km.

故答案是：向南走10km.

点睛：本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示.

18、1﹣1

【解析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．

【详解】

如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥B′F，

∴EB′=EB，

∵E是AB边的中点，AB=4，

∴AE=EB′=1，

∵AD=6，

∴DE=，

∴B′D=1﹣1．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、37

【解析】

试题分析：过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出,在中, 计算出.

试题解析：如图所示：过点作交于点．

在中，

又∵在中，

答：的长度为

20、

【解析】
原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果；

【详解】

原式=

=

=．

【点睛】

此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．

21、（1）a=7，b=7.5，c=4.2；（2）见解析.

【解析】
（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；

（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．

【详解】

（1）甲的平均成绩a==7（环），

∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，

∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），

其方差c=×[（3-7）2+（4-7）2+（6-7）2+2×（7-7）2+3×（8-7）2+（9-7）2+（10-7）2]

=×（16+9+1+3+4+9）

=4.2；

（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；

综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．

【点睛】

本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．

22、（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；

（2）画出树状图即可得到结论．

试题解析：（1）选择 A通道通过的概率=，

故答案为；

（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率==．

23、 (1)见解析;(2).

【解析】
（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【详解】

解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：

从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．

（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，

∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．

【点睛】

本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.

24、2

【解析】

试题分析：首先根据单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式将括号去掉，然后再进行合并同类项，最后将ａ的值代入化简后的式子得出答案.

试题解析：解：原式=3a3+6a1+3a﹣1a1﹣4a﹣1=3a3+4a1﹣a﹣1，

当a=1时，原式=14+16﹣1﹣1=2．

25、（1）；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为．

【解析】
（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，再计算概率.

【详解】

解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，

∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，

故答案为；

（2）列表如下：

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，

所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．

【点睛】

本题考核知识点：求概率. 解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式.

26、（1）DE与⊙O相切，详见解析；（2）5

【解析】
(1) 根据直径所对的圆心角是直角，再结合所给条件∠BDE＝∠A，可以推导出∠ODE ＝ 90°，说明相切的位置关系。

(2)根据直径所对的圆心角是直角，并且在△BDE中，由DE⊥BC,有∠BDE＋∠DBE ＝ 90°可以推导出∠DAB＝∠C,  可判定△ABC是等腰三角形，再根据BD⊥AC可知D是AC的中点，从而得出AD的长度，再在Rt△ADB中计算出直径AB的长，从而算出半径。

【详解】

（1）连接OD，在⊙O中，因为AB是直径，所以∠ADB＝90°，即∠ODA＋∠ODB＝90°，由OA＝OD，故∠A＝∠ODA，又因为∠BDE＝∠A，所以∠ODA＝∠BDE，故∠ODA＋∠ODB＝∠BDE＋∠ODB＝∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD过圆心，D是圆上一点，故DE是⊙O切线上的一段，因此位置关系是直线DE与⊙O相切；

（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，故∠A＋∠ABD＝90°，故BD⊥AC，由∠BDE＝∠A，则∠BDE＋∠ABD＝90°，因为DE⊥BC，所以∠DEB＝90°，故在△BDE中，有∠BDE＋∠DBE＝90°，则∠ABD＝∠DBE，又因为BD⊥AC，即∠ADB＝∠CDB＝90°，所以∠DAB＝∠C，故△ABC是等腰三角形，BD是等腰△ABC底边BC上的高，则D是AC的中点，故AD＝AC＝×16＝8，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，可解得BD＝6，由勾股定理可得AB＝＝＝10，AB为直径，所以⊙O的半径是5.

【点睛】

本题主要考查圆中的计算问题和与圆有关的位置关系，解本题的要点在于求出AD的长，从而求出AB的长.

27、（1）；（2）k＝1

【解析】
（1）根据一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，可得出△≥0，解不等式即可得出结论；

（2）分别把k的正整数值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，根据解方程的结果进行分析解答．

【详解】

（1）由题意得：△=16﹣8（k﹣1）≥0，∴k≤1．

（2）∵k为正整数，∴k=1，2，1．

当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x =0，解得：x=0或x=－2，有一个根为零；

当k=2时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +1=0，解得：x=，无整数根；

当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +2=0，解得：x1=x2=－1，有两个非零的整数根．

综上所述：k=1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（1）△＜0⇔方程没有实数根．