2021-2022学年广州市第十中学中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是

A． B． C． D．

2．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（　　）

A．25本 B．20本 C．15本 D．10本

3．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是　　

A． B． C． D．

4．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

5．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是 （     ）

A． B． C． D．

6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是(     )

A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0

7．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为(　　)

A．54° B．64° C．74° D．26°

8．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．其中假命题的个数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

9．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

10．如图所示，有一条线段是（）的中线，该线段是（    ）.

A．线段GH B．线段AD C．线段AE D．线段AF

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．

12．如图，点G是的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作交AC于点E，如果，那么线段GE的长为______．

13．化简：=_____.

14．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM的周长为_____．

15．如图，点M是反比例函数（x＞0）图像上任意一点，MN⊥y轴于N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积为

A．1 B．2 C．4 D．不能确定

16．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形成为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为          ．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=1．

18．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

19．（8分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

20．（8分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：

设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．写出y关于x的函数关系式；该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，

①至少要购进多少件甲商品？

②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

21．（8分）如图，中，，于，，为边上一点．

（1）当时，直接写出　　，　　．

（2）如图1，当，时，连并延长交延长线于，求证：．

（3）如图2，连交于，当且时，求的值．

22．（10分）（（1）计算：；

（2）先化简，再求值：

，其中a=．

23．（12分）如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．求证：AB是⊙O的切线；若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

24．先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

圆锥的侧面积=×80π×90=3600π(cm2) .

故选D．

2、C

【解析】
设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．

【详解】

解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，

根据题意，得：，

解得：，

答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．

故选C．

【点睛】

本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于x、y的二元二次方程组是解答此题的关键．

3、C

【解析】
根据主视图的定义判断即可．

【详解】

解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故正确．

故选：．

【点睛】

此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．

4、C

【解析】
由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．

【详解】

∵∠B＝70°，∠BAC＝30°

∴∠ACB＝80°

∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．

∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°

∴∠CAE＝∠AEC＝50°

故选C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

5、A

【解析】

两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得：x+y＞0，

故选A．

6、A

【解析】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．

∵对称轴在y轴的左边，∴＜1．∴b＞1．

∵图象与y轴的交点坐标是（1，﹣2），过（1，1）点，代入得：a+b﹣2=1．

∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．

把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣3，

∵b＞1，∴b=2﹣a＞1．∴a＜2．

∵a＞1，∴1＜a＜2．∴1＜2a＜3．∴﹣3＜2a﹣3＜1，即﹣3＜P＜1．

故选A．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．

7、B

【解析】
根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．

【详解】

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AB＝BC，

∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，

在△AMO和△CNO中，

，

∴△AMO≌△CNO(ASA)，

∴AO＝CO，

∵AB＝BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BOC＝90°，

∵∠DAC＝26°，

∴∠BCA＝∠DAC＝26°，

∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．

故选B．

【点睛】

本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．

8、D

【解析】
根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断．

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540°，则其内角为108°，而360°并不是108°的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题．

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与证明．对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念．关键是熟悉这些概念，正确判断．

9、A

【解析】

分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，

故选A．

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

10、B

【解析】
根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．

【详解】

根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线．

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2

【解析】

去分母得，m-1-x=0.

∵方程有增根，∴x=1, ∴m-1-1=0, ∴m=2.

12、2

【解析】

分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．

详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，

∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，

∵GE∥BC，

∴△AEG∽△ADC，

∴GE：CD=AG：AD=2：3，

∴GE=2.

故答案为2.

点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键.

13、

【解析】
先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式

【详解】

原式=

=

=

【点睛】

此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键

14、1．

【解析】
根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=90°，

∴

∵AO=OC，

∴

∵AO=OC，AM=MD=4，

∴

∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=1．

故答案为:1．

【点睛】

本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．

15、A

【解析】
可以设出M的坐标，的面积即可利用M的坐标表示，据此即可求解．

【详解】

设M的坐标是(m,n)，则mn=2.

则MN=m，的MN边上的高等于n.

则的面积

故选A.

【点睛】

考查反比例函数系数k的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握.

16、1

【解析】

试题分析：根据题意可得圆心角的度数为：，则S==1．

考点：扇形的面积计算．

三、解答题（共8题，共72分）

17、x1=，x2=

【解析】

试题分析：方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

试题解析：解：方程化为，，，．

＞1．

．

即，．

18、（1）；（2）每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

【解析】
根据题可设出一般式，再由图中数据带入可得答案，根据题目中的x的取值可得结果.②由总利润=数量×单间商品的利润可得函数式，可得解析式为一元二次式，配成顶点式可求出最大利润时的销售价，即可得出答案.

【详解】

（1）.

（2） 根据题意，得：

∵

∴当时，随x的增大而增大

∵

∴当时，取得最大值，最大值是144

答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

【点睛】

熟悉掌握图中所给信息以及列方程组是解决本题的关键.

19、（1）抛物线的解析式是y=x2﹣3x；（2）D点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P的坐标是（）或（）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；
（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）

∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，

∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），

得：8=8k1，解得：k1=1    

∴直线OB的解析式为y=x，

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，    

∵抛物线与直线只有一个公共点，  

∴△=16﹣2m=0，

解得：m=8，

此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4， 

∴D点的坐标为（4，﹣4）

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（6，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，6），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k2x+6，过点（8，8），

∴8k2+6=8，解得：k2= ，   

∴直线A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，   

∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，

∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，

∴=n2﹣3n，    解得：n1=﹣，n2=8（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（﹣，）．

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1（﹣，-），B1（8，﹣8），

∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，   

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴，   

∴点P1的坐标为（）．

将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（），

综上所述，点P的坐标是（）或（）．

【点睛】运用了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．

20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．

【解析】
(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.

【详解】

(Ⅰ)根据题意得：

则y与x的函数关系式为．

(Ⅱ)，解得．

∴至少要购进20件甲商品．

，

∵，

∴y随着x的增大而减小

∴当时，有最大值，．

 ∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．

【点睛】

本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

21、（1），；（2）证明见解析；（3）．

【解析】
（1）利用相似三角形的判定可得，列出比例式即可求出结论；

（2）作交于，设，则，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可得出结论；

（3）作于，根据相似三角形的判定可得，列出比例式可得，设，，，即可求出x的值，根据平行线分线段成比例定理求出，设，，，然后根据勾股定理求出AC，即可得出结论．

【详解】

（1）如图1中，当时，．

，，

，

，

，，

．

故答案为：，．

（2）如图中，作交于．

，，

∴tan∠B=，tan∠ACE= tan∠B=

∴BE=2CE，

，，设，则，

，

，

，，

，

，

．

（3）如图2中，作于．

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，设，，，

则有，

解得或(舍弃)，

，

，，，

，，

，

，

，

，设，，，

在中，，

，

，

，

．

【点睛】

此题考查的是相似三角形的应用和锐角三角函数，此题难度较大，掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．

22、（1）2016；（2）a（a﹣2），．

【解析】

试题分析：（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．

试题解析：（1）原式==2016；

（2）原式====a（a﹣2），

当a=时，原式==．

23、（1）见解析；（2）+

【解析】
（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；

（2）作AE⊥CD于点E，由已知条件得出AC=2，再求出AE=CE，根据直角三角形的性质就可以得到AD．

【详解】

（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：

连接OA．

∵OC=BC，AC=OB，

∴OC=BC=AC=OA，

∴△ACO是等边三角形，

∴∠O=∠OCA=60°，

又∵∠B=∠CAB，

∴∠B=30°，

∴∠OAB=90°．

∴AB是⊙O的切线．

（2）作AE⊥CD于点E．

∵∠O=60°，

∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，

∴在Rt△ACE中，CE=AE=；

∵∠D=30°，

∴AD=2．

【点睛】

本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24、.

【解析】
先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．

【详解】

,

=

=

=

=，

当x=0时，原式=.