2021-2022学年广西省桂林市达标名校中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，等腰直角三角形位于第一象限，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为，且两条直角边，分别平行于轴、轴，若反比例函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ）．

A． B． C． D．

2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　）

A． B． C． D．

3．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）

A．段① B．段② C．段③ D．段④

4．如果数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2xn的方差是（　　）

A．3 B．6 C．12 D．5

5．如图，已知，，则的度数为(    )

A． B． C． D．

6．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000 km，将13000用科学记数法表示应为( )

A．0.13×105 B．1.3×104 C．1.3×105 D．13×103

7．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

8．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）

A． B．1 C． D．

9．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（　　）

A．35° B．45° C．55° D．25°

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE=∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点p(a，b)，则a与b的数量关系是________．

12．满足的整数x的值是_____．

13．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF＝8，AD＝2，则⊙O半径的长是_____．

14．分解因式：x3﹣2x2+x=______．

15．如果不等式无解，则a的取值范围是 ________

16．某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为_______.

17．一元二次方程x2=3x的解是：________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如下表所示，有A、B两组数：

（1）A组第4个数是　   　；用含n的代数式表示B组第n个数是　   　，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．

19．（5分）如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带BC长为4米，求新传送带AC的长及新、原传送带触地点之间AB的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.1，tan36°≈0.73，取1.414

20．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．小礼诵读《论语》的概率是　   　；（直接写出答案）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．

21．（10分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价40万元以上；B：车价在20—40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：

（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE^ AB于E， CD平分ÐECB， 交过点B的射线于D， 交AB于F， 且BC=BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AE=9， CE=12， 求BF的长．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，OC=OD．

（1）若，DC=4，求AB的长；

（2）连接BE，若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的度数．

24．（14分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上．

（I）计算△ABC的边AC的长为_____．

（II）点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB．当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____（不要求证明）．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，则A（1，1），而AB=AC=2，则B（3，1），△ABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与△ABC有唯一交点时，这个交点分别为A、E，由此可求出k的取值范围.

解：∵，．．又∵过点，交于点，∴，

∴，∴．故选D.

2、B

【解析】
连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．

【详解】

解：连接OE，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，

∴OA＝OD＝2，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠D＝60°，

∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，

∴ 的长＝＝；

故选B．

【点睛】

本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．

3、C

【解析】

试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．

∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．4＜＜1．9，

所以应在③段上．

故选C

考点：实数与数轴的关系

4、C

【解析】

【分析】根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2a，再根据方差公式进行计算：即可得到答案．

【详解】根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，

则数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2a，

根据方差公式：=3，

则

=

=4×

=4×3

=12，

故选C．

【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．

5、B

【解析】

分析：根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．

详解：∵∠AOC=70°， ∠BOC=30°， ∴∠AOB=70°－30°=40°，

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°，故选B．

点睛：本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．

6、B

【解析】

试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．将13000用科学记数法表示为：1.3×1．

故选B．

考点：科学记数法—表示较大的数

7、C

【解析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．

【详解】

a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．

8、B

【解析】
连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．

【详解】

如图，连接BC，

由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

则tan∠BAC=1，

故选B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

9、A

【解析】
根据垂直的定义得到∠∠BCE=90°，根据平行线的性质求出∠BCD=55°，计算即可．

【详解】

解：∵BC⊥AE，

∴∠BCE=90°，

∵CD∥AB，∠B=55°，

∴∠BCD=∠B=55°，

∴∠1=90°-55°=35°，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

10、C

【解析】
①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；

②根据ASA证明即可，结论正确；

③利用面积法证明即可，结论正确；

④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.

【详解】

∵CE⊥AB，∠ACE=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AF=CF，

∴EF=AF=CF，

∴△AEF，△EFC都是等腰直角三角形，

∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，

∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC，

∴∠EAH=∠BCE，

∵AE=EC，∠AEH=∠CEB=90°，

∴△AHE≌△CBE，故②正确，

∵S△ABC=BC•AD=AB•CE，AB=AC=AE，AE=CE，

∴BC•AD=CE2，故③正确，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABC=2S△ADC，

∵AF=FC，

∴S△ADC=2S△ADF，

∴S△ABC=4S△ADF．

故选C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、a+b=1．

【解析】

试题分析：根据作图可知，OP为第二象限角平分线，所以P点的横纵坐标互为相反数，故a+b=1.

考点：1角平分线；2平面直角坐标系.

12、3，1

【解析】
直接得出2＜＜3，1＜＜5，进而得出答案．

【详解】

解：∵2＜＜3，1＜＜5，

∴的整数x的值是：3，1．

故答案为：3，1．

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．

13、1.

【解析】

试题解析：连接OE，如下图所示，

则：OE=OA=R，

∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，

∴ED=DF=4，

∵OD=OA-AD，

∴OD=R-2，

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：

OE2=OD2+ED2，

∴R2=（R-2）2+42，

∴R=1．

考点：1.垂径定理；2.解直角三角形．

14、x（x-1）2.

【解析】

由题意得，x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2

15、a≥1

【解析】
将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．

【详解】

解得，

∵无解，

∴a≥1.

故答案为a≥1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式组的运算法则.

16、

【解析】

分析：设A款魔方的单价为x元，B魔方单价为y元，根据“购买两个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．

解：设A魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，根据题意得：

故答案为

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

17、x1=0，x2=1

【解析】
先移项，然后利用因式分解法求解．

【详解】

x2=1x

x2-1x=0，

x(x-1)=0，

x=0或x-1=0，

∴x1=0，x2=1．

故答案为：x1=0，x2=1

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）3；（2），理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析

【解析】
（1）将n=4代入n2-2n-5中即可求解；

（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n个数是3n-2；

（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．

【详解】

解：（1））∵A组第n个数为n2-2n-5，

∴A组第4个数是42-2×4-5=3，

故答案为3；

（2）第n个数是．

理由如下：

∵第1个数为1，可写成3×1-2；

第2个数为4，可写成3×2-2；

第3个数为7，可写成3×3-2；

第4个数为10，可写成3×4-2；

……

第9个数为25，可写成3×9-2；

∴第n个数为3n-2；

故答案为3n-2；

（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；

由题意得，，

解之得，

由于是正整数，所以不存在列上两个数相等．

【点睛】

本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．

19、新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．

【解析】
根据题意得出：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1，即可得出BD的长，再表示出AD的长，进而求出AB的长．

【详解】

解：如图，作CD⊥AB于点D，由题意可得：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1．

在Rt△BCD中，sin∠CBD=，∴CD=BCsin∠CBD=2．

∵∠CBD=15°，∴BD=CD=2．

在Rt△ACD中，sinA=，tanA=，∴AC=≈≈1.8，AD==，∴AB=AD﹣BD=﹣2=﹣2×1.111≈3.87﹣2.83=1.21≈1.2．

答：新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．

【点睛】

本题考查了坡度坡角问题，正确构建直角三角形再求出BD的长是解题的关键．

20、（1）；（2）．

【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，

∴小明诵读《论语》的概率=,

（2）列表得：

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种．

所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=．

【点睛】

本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．

21、（1）50，20%，72°．

（2）图形见解析；

（3）选出的2人来自不同科室的概率=．

【解析】

试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．

（2）先求出样本中B类人数，再画图．

（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．

试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），

样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，

B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；

（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）

；

（3）画树状图为：

共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，

所以选出的2人来自不同科室的概率=．

考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．

22、（1）证明见解析；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，判断出∠1=∠D，从而根据平行线的判定得到CE∥BD，根据平行线的性质得∠DBA=∠CEB，由此可根据切线的判定得证结果；

（2）连接AC，由射影定理可得，进而求得EB的长，再由勾股定理求得BD=BC的长，然后由“两角对应相等的两三角形相似”的性质证得△EFC∽△BFD，再由相似三角形的性质得出结果．

试题解析：（1）证明：∵，

∴．

∵CD平分，BC=BD，

∴，．

∴．

∴∥．

∴．

∵AB是⊙O的直径，

∴BD是⊙O的切线．

（2）连接AC，

∵AB是⊙O直径，

∴．

∵，

可得．

∴

在Rt△CEB中，∠CEB=90°，由勾股定理得

∴．

∵，∠EFC =∠BFD，

∴△EFC∽△BFD．

∴．

∴．

∴BF=1．

考点：切线的判定，相似三角形，勾股定理

23、（1）；（2）30°

【解析】
（1）由于DE垂直平分AC，那么AE=EC，∠DEC=90°，而∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，易证，△ABC∽△DEC，∠A=∠CDE，于是sin∠CDE=sinA＝，AB：AC=DE：DC，而DC=4，易求EC，利用勾股定理可求DE，易知AC=6，利用相似三角形中的比例线段可求AB；
（2）连接OE，由于∠DEC=90°，那么∠EDC+∠C=90°，又BE是切线，那么∠BEO=90°，于是∠EOB+∠EBC=90°，而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE，于是∠EBC=∠C，从而有∠EOB=∠EDC，又OE=OD，易证△DEO是等边三角形，那么∠EDC=60°，从而可求∠C．

【详解】

解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，

∴∠DEC=90°，AE=EC，

∵∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴∠A=∠CDE，△ABC∽△DEC，

∴sin∠CDE=，AB：AC=DE：DC，

∵DC=4，

∴ED=3，

∴DE=，

∴AC=6，

∴AB：6=：4，

∴AB=；

（2）连接OE，

∵∠DEC=90°，

∴∠EDC+∠C=90°，

∵BE是⊙O的切线，

∴∠BEO=90°，

∴∠EOB+∠EBC=90°，

∵E是AC的中点，∠ABC=90°，

∴BE=EC，

∴∠EBC=∠C，

∴∠EOB=∠EDC，

又∵OE=OD，

∴△DOE是等边三角形，

∴∠EDC=60°，

∴∠C=30°．

【点睛】

考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质．解题的关键是连接OE，构造直角三角形．

24、     作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小   

【解析】
（1）利用勾股定理计算即可；

（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．

【详解】

解：（1）AC==．

故答案为．

（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．

故答案为作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．