高考数学一轮复习单元质检九解析几何含解析新人教A版文

单元质检九　解析几何

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.

2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是(　　)

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0

C.3x-4y+16=0

D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0

答案:D

解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,

由=3,解得m=16或m=-14.

即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.

3.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

答案:C

解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.

4.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点,则该双曲线的方程为(　　)

A.x2-y2=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.=1

答案:A

解析:椭圆+y2=1的焦点位于x轴,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,据此可知,椭圆的焦点坐标为(±1,0),x轴上的顶点坐标为(±,0),

结合题意可知,双曲线的焦点位于x轴,

且c=,a=1,b=1,

则该双曲线方程为x2-y2=1.

5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:由题意可知2n2=2m2+c2,

又m2+n2=c2,所以m=.

因为c是a,m的等比中项,

所以c2=am,代入m=,解得e=.

6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是(　　)

A.y=-x+3 B.x=0或y=-x+3

C.x=0或y=x+3 D.x=0

答案:B

解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.

因为弦长为2,圆的半径为2,

所以弦心距为=1.

由点到直线距离公式得=1,

解得k=-.

综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.

7.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)

A. B.1 C. D.

答案:D

解析:由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.

8.(2020全国Ⅰ,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)

A. B.3 

C. D.2

答案:B

解析:由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).

因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,

故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.

由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,

所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,

所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3.

9.设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.(1,) B.(,2) C.(1,2) D.(,+∞)

答案:B

解析:双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,

当x=时,y=±,

所以不妨令A,B.

因为60°<∠AFB<90°,所以<kFB<1,

即<1,即<1.

所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.

10.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率e2=(　　)

A. B.2 C. D.3

答案:C

解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,

由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,

即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得=4,e1e2=1,

即有-4+3=0,解得e2=.

11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=(　　)

A.3 B.6 C.12 D.42

答案:B

解析:因为双曲线的离心率为2,

所以e2==4,即b2=3a2,

所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),

得x=p或x=0,故xA=xB=p.

又因为|AF|=xA+p+=7,所以p=6.

12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.

由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,

则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.

不妨设M(0,b),则,即b≥1.

所以e=.

因为0<e<1,所以0<e≤.故选A.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　　. 

答案:(1,0)

解析:由题知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,±2)(a>0).

又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4=4,即a=1.

所以抛物线的焦点坐标为(1,0).

14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. 

答案:y=±x

解析:抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.

所以y1+y2=p.

联立双曲线与抛物线方程得

消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.

所以y1+y2==p,所以.

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.

15.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　　　　. 

答案:(x+1)2+(y-)2=1

解析:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,

由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).

∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=-,直线AF的方程为y=-x+.

∵点A在直线AF上,∴b=.

则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.

16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:

①若C为椭圆,则1<t<4;

②若C为双曲线,则t>4或t<1;

③曲线C不可能是圆;

④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.

其中正确的命题是　　　　　.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 

答案:②

解析:若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,

解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;

若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;

若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;

若C表示椭圆,且长轴在x轴上,

则4-t>t-1>0,

解得1<t<,所以④错误.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解:(1)由得圆心C(3,2).

又因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

显然切线的斜率一定存在,

设所求圆C的切线方程为y=kx+3,

即kx-y+3=0,则=1,

所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.

所以k=0或k=-.

所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,

可设圆心C为(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),

则=2,整理得x2+(y+1)2=4.

设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,

所以点M既在圆C上又在圆D上,

即圆C和圆D有交点,

所以2-1≤≤2+1,

解得a的取值范围为.

18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.

(1)求圆C的方程;

(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.

解:(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,

则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.

所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,

所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.

(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),

则直线PA方程为,

整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.

因为直线PA与圆C相切,可得=1,

化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.

同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,

所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,

所以|AB|=|a-b|==2,

令t=x0+2∈[4,8],

则|AB|=2,

求得|AB|min=,|AB|max=.

|AB|的取值范围是.

19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.

(1)求k的取值范围;

(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.

解:(1)抛物线y=x2的焦点为.

由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),

令x=0,得y=1-k,

即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).

因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,

所以1-k>,解得k<.

因为k>0,所以0<k<,

即k的取值范围是.

(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.

理由如下:假设四边形ABDC为梯形.

由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),

联立方程

消去y,得x2-kx+k-1=0,

由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.

同理,得x2=--1.

对函数y=x2求导,得y'=2x,

所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,

抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.

由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.

若AB∥CD,则k=--2,

即k2+2k+2=0,

因为方程k2+2k+2=0无解,

所以AB与CD不平行.

若AC∥BD,则-=2k-2,

即2k2-2k+1=0,

因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.

所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.

因此四边形ABDC不可能为梯形.

20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.

(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

解:(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,

∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,

于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,

故C的离心率e=-1.

(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,

当且仅当|y|·2c=16,=-1,=1,

即c|y|=16,①

x2+y2=c2,②

=1.③

由②③及a2=b2+c2得y2=,

又由①知y2=,故b=4.

由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,

从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.

当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.

所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).

21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.

(1)求抛物线E的方程;

(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,

∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.

根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),

∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.

(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,

∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.

∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.

讨论:

若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,

解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意;

若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),

由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.

设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.

∵抛物线E的准线方程为x=-2,

∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,

∴+4=10,解得k=±2.

当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.

∵(-6)2-4×1×4>0,

∴x2-6x+4=0有两个不相等实数根.∴k=±2满足题意.

∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.

22.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

①求直线FP的斜率;

②求椭圆的方程.

解:(1)设椭圆的离心率为e.

由已知,可得(c+a)c=.

又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.

又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.

(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),

则直线FP的斜率为.

由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,

即x+2y-2c=0,

与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,

即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=c,有,

整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.

②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.

由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,

与椭圆方程联立消去y,

整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.

因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.

由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.

因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,

同理△FPM的面积等于,

由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,

整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.

所以,椭圆的方程为=1.