高考数学一轮复习考点规范练23解三角形含解析新人教A版文

考点规范练23　解三角形

基础巩固

1.在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)

A. B.π

C.2π D.4π

答案:B

解析:在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,

故C=180°-A-B=60°.

设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得2R=,解得R=1,

故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(　　)

A. B.1 C. D.2

答案:B

解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×,

整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)

A. B.4 C.3 D.

答案:A

解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,

∴cosB=,∴B=.

又S=ac·sinB=×1×c×,

∴c=4.

又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×=13,

∴b=.

4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=(　　)

A.6 B.5

C.4 D.3

答案:A

解析:由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,

由余弦定理的推论,得-=cosA=,

∴=-,∴-=-,∴×4=6,故选A.

5.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是(　　)

A.直角三角形  B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案:D

解析:∵△ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=.

∵sinA,sinB,sinC成等比数列,

∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,

∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.

∴△ABC为等边三角形.

6.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.75°

答案:B

解析:依题意可得AD=20m,AC=30m,

又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.4 B.2 C.2 D.

答案:A

解析:∵在△ABC中,,

∴(2a-c)cosB=bcosC.

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.

∴cosB=,即B=.

由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,

因此,△ABC的面积S=acsinB=ac≤4,故选A.

8.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则C=　　　　　. 

答案:

解析:在△ABC中,∵=sinA-sinB,

∴=a-b.

∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=.∴C=.

9.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=　　　　　. 

答案:

解析:由题意及正弦定理,可知,

即,故∠ADB=45°.

所以A=180°-120°-45°,故A=30°,

则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.

所以AC=2sin60°=.

10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为　　　　　米. 

答案:140

解析:由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,

在△ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.

在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,

∠CHA=90°-30°=60°,

由正弦定理得,

可得CH=AC·=140(米).

11.(2020全国Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.

(1)求A;

(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.

答案:(1)解由已知得sin2A+cosA=,即cos2A-cosA+=0.

所以=0,cosA=.

由于0<A<π,故A=.

(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=sinA.

由(1)知B+C=,所以sinB-sinsin.

即sinB-cosB=,sin.

由于0<B<,故B=.从而△ABC是直角三角形.

12.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?

解:设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,

则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,

依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,

解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.

又由正弦定理得sin∠ABC=,

所以∠ABC=38°.

又∠BAD=38°,所以BC∥AD.

故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.

能力提升

13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,

整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

则sinC(sinA+cosA)=0,

因为sinC>0,所以sinA+cosA=0,

即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=.

由正弦定理,得,

即sinC=,所以C=,故选B.

14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　. 

答案:

解析:由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以=2a,设△ABC的外接圆半径为R,

则=2R,所以a=R.

因为b2+c2-a2=8>0,所以cosA>0,0<A<,因为=2R,所以sinA=,A=30°,

所以cosA=,所以bc=,所以S△ABC=bcsinA=.

15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=　　　　　. 

答案:

解析:在△ABC中,∵tanB=-,

∴sinB=,cosB=-.

又S△ABC=acsinB=2c=8,∴c=4,

∴b=.

∴.

16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.

(1)求角B的大小;

(2)若BC边上的高等于a,求cos A的值.

解:(1)因为bcosC+bsinC=a,

由正弦定理,得sinBcosC+sinBsinC=sinA.

因为A+B+C=π,

所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).

即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.

因为sinC≠0,所以sinB=cosB.

因为cosB≠0,所以tanB=1.

因为B∈(0,π),所以B=.

(2)设BC边上的高线为AD,

则AD=a.因为B=,

则BD=AD=a,CD=a.

所以AC=a,AB=a.

由余弦定理得cosA==-.

高考预测

17.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,b=2,求角C的大小.

解:(1)∵△ABC中,b2+c2-a2=4S=4bcsinA=2bc·sinA,

∴cosA=sinA,∴tanA=,

∵0<A<π,∴A=.

(2)∵a=2,b=2,A=,

∴由得sinB=,

∵0<B<,且B>A,

∴B=,∴C=.