广西专用高考数学一轮复习第九章解析几何2两条直线的位置关系课件新人教A版理

这是一份广西专用高考数学一轮复习第九章解析几何2两条直线的位置关系课件新人教A版理，共46页。PPT课件主要包含了-2-，知识梳理，双基自测，相交重合，-3-，-4-，两条直线的交点，唯一解，无穷多解，-5-等内容，欢迎下载使用。

1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括　　　　　　　　　　　三种情况. (1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔　　　　　　　　　　　. 
A1A2+B1B2=0
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.(　　)(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于 -1.(　　)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.(　　)
2.(2020福建三明模拟)已知直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-1)y +m=0平行,则实数m的值是(　　)A.-2B.3C.5D.-2或3
3.(2020山东潍坊模拟)已知直线l1:x·sin α+y-1=0,直线l2:x-3y·cs α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)
4.直线l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为(　　)A.3B.5C.-5D.-8
5.与直线4x+3y-5=0平行,且到它的距离等于3的直线方程是　 . 
例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1⊥l2时,求a的值.思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论?
解 (1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0;由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0.故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.
解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.
对点训练1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数(m+n)的值为　　　　　. (2)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.①l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
(2)解 ①由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1.∵l1⊥l2,∴直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又l1过点(-3,-1),∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.(**)联立(*)(**),解得a=2,b=2.
②∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,
例2(1)(2020河南郑州二模)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为(　　)
(2)求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么?
解析:(1)∵在平面直角坐标系内,过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0相交于点M,∴P(0,1),Q(-3,0).∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,∴点M位于以PQ为直径的圆上,
(方法二)∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,λ∈R,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.
解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是求解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点;对于与垂直有关的相交问题可考虑利用平面几何的性质帮助简化问题.2.常见的三大直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=(　　)(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为　　　　　　　　　　. 
例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
(2)已知点P(2,-1).①求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.②求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?③是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.思考利用距离公式应注意的问题有哪些?
(2)解：①过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
②作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两条平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.
对点训练3(1)平行线5x+12y-10=0和mx+6y+2=0的距离是　　　　　. (2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在平面直角坐标系内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则点P的坐标为　　　 　　. 
(2)设点P的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1),∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,∴a-b-5=0.①又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,
考向一　直线关于点的对称问题例4求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程.思考有关直线关于点的对称问题该如何解?
解:方法一:两条直线关于点M对称,则其中一条直线上任意一点关于M的对称点在另一条直线上,利用中点坐标公式可由两个对称点中的一点的坐标表示另一个点的坐标.设P(x,y)是待求直线上任意一点,Q(x0,y0)为点P关于点M(2,3)的对称点,则点Q在直线y=-4x+1上,
代入y0=-4x0+1中,得4x+y-21=0.
(方法二)由中心对称定义可知,若两条直线关于点M对称,则它们是一对与定点M距离相等的直线,利用两平行直线斜率相等(斜率存在时)及点到直线的距离公式即可求出所求直线方程.将已知直线方程y=-4x+1化为4x+y-1=0.设所求直线方程为4x+y+c=0,c≠-1,
整理,得c=-21或c=-1(舍去).故所求直线方程为4x+y-21=0.
考向二　点关于直线的对称问题例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A'的坐标为　 . 思考有关点关于直线的对称问题该如何解?
考向三　直线关于直线的对称问题例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程.思考有关直线关于直线的对称问题该如何解?
解 在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点M'(a,b),则
解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A'(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
对点训练4(1)(2020四川南充模拟)直线3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线方程l'为(　　)A.4x-3y+5=0B.4x-3y-5=0C.3x+4y-5=0D.3x+4y+5=0(2)已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　　)A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0(3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
解析:(1)在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,则3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0.故选A.
根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.
(方法二)设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),
思想方法——转化思想在对称问题中的应用1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,则要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求.2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.
典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大.