广西专用高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明5数学归纳法课件新人教A版理

这是一份广西专用高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明5数学归纳法课件新人教A版理，共24页。PPT课件主要包含了-2-，知识梳理，双基自测，k+1，-3-，-4-，-5-，-6-，-7-，-8-等内容，欢迎下载使用。

1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=　　　　　时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. (　　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明. (　　)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.(　　)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+ ”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.(　　)
要用归纳假设再证(　　)A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立
5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是　　　　　　　　　　　　　. 
思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?
证明：①当n=1时,
②假设当n=k时等式成立,
这就是说,当n=k+1时等式也成立.由①和②可知,对任何n∈N*等式都成立.
解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.
例2设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?
(1)解:设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.从而an=2n-2,n∈N*.所以Sn=n2-n,n∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).
所以bn=n2+n,n∈N*.
我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2 对任意 n∈N*成立.
解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
证明 (1)当n=1时,∴a1>a2.(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1例3已知数列{an}的前n项和为Sn,且 ,且an>0,n∈N*(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.思考解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?
解题心得解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.
对点训练3把一个圆分成n(n≥3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有f(n)种方法.(1)写出f(3),f(4)的值;(2)猜想f(n)(n≥3),并用数学归纳法证明.
解：(1)f(3)=24,f(4)=84.(2)当n≥4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,…, an-1均有3种染法.对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=4×3n-1-f(n-1).