2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（一）数学（文）试卷

这是一份2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（一）数学（文）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，且，则（ ）
A．3B．0C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果（ ）后失去40%新鲜度．
A．25天B．30天C．35天D．40天
7．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数的部分图象如下图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．该图象对应的函数解析式为
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知抛物线的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点．已知，，若，的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数满足，则的最大值为_________．
14．某中学决定从收集到的500份学生作品中，抽取20份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这500份作品从001到500进行编号，已知第一组中被抽到的号码为013，则所抽到的第10组的号码为__________．
15．已知数列中，，，，数列的前n项和为．若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________．
16．在中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）某城市有一个三角形街心广场，其中，，在处有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上．
（1）若，求的长；
（2）若，，求水池的面积．
18．（12分）如图，在三棱锥中，SA＝SC，D为AC的中点，SD⊥AB．
（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；
（2）若△BCD是边长为3的等边三角形，点P在棱SC上，PC＝2SP，且，求三棱锥A－PBC的体积．
19．（12分）某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
表中，．
（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到）；
（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．
20．（12分）已知椭圆，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．
（1）若线段的中点为，求直线l的斜率；
（2）若l与y轴交于点，直线分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．
21．（12分）已知函数，．
（1）当，时，求证：恒成立；
（2）当时，探讨函数的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的极坐标方程为，直角坐标系中曲线N的参数方程为（为参数，）．
（1）求曲线M的直角坐标方程；
（2）设曲线M与直角坐标系的x轴和y轴分别交于点A和点B（A、B都异于原点O），点C为曲线N上的动点，求面积的最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值．
答案
1-12 BDAAC BBBAB BB
13【答案】4
14【答案】238
15【答案】
16【答案】12
17【答案】（1）；（2）．
18（1）因为SA＝SC且D为AC的中点，所以SD⊥AC，
又SD⊥AB，，所以SD⊥平面ABC，
又平面SAC，所以平面SAC⊥平面ABC．
（2）因为△BCD是边长为3的等边三角形，故AD＝DC＝DB＝3，
所以AB⊥BC，且，
由，得，解得SD＝3，
所以AD＝DC＝DS，故SA⊥SC．
过点P作PR⊥SD，R为垂足，PH⊥DC，H为垂足，
由PC＝2SP，知，RD＝2，则PH＝RD＝2，
．
19【答案】（1）；（2）；（3）12000册．
20（1）设，由在椭圆上，则，
两式相减得，即，
又的中点且在椭圆内，则，
所以直线的斜率为．
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，，
联立，得．
由，得，即或，
且，．
直线为，令，得，则，
同理得，
所以
，
所以的横坐标乘积为定值．
21（1）当，时，，
所以，
令，解得，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数，
所以，即恒成立．
（2）当时，，
令，则，
当，函数为开口向上的抛物线，且，
所以与图象有2个交点，如图所示：
当时，，解得，故只有1个零点；
当时，，
令，为开口向上的抛物线，
令，解得，
此时恒成立，所以为单调递增函数，
又，所以有唯一根，即有1个零点；
令时，解得或（舍），
此时令，解得，，
因为，所以，
所以，
所以当时，，即，所以为增函数；
当时，，即，所以为减函数，
又，
所以，
当时，，
所以时，存在唯一x，使，
，且，
所以时，存在唯一x，使，
所以有三个根，即有3个零点，
综上：当时，有2个零点，
当时，有1个零点，
当时，有3个零点．
22【答案】（1）；（2）．
23【答案】（1）或；（2）．