2022年全国统一招生考试第三次模拟考试（全国卷）—理科数学试题（含答案）

2022届高三第三次模拟考试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，公众号拾穗者的杂货铺．

1．设复数（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

故选B．

2．设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，

所以图中阴影部分对应的集合为，故选D．

3．已知不等式组表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】绘制不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

则，，，，

按照斜二测画法，直角梯形的直观图如图所示，为梯形，

且两底边长分别为，，高为，

所以直观图的面积为，故选A．

4．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为，

，该函数为奇函数，排除A、C选项；

当时，，则，排除B选项，

故选D．

5．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意在抛物线上，

所以，

所以，故，且抛物线开口向下，

所以抛物线的焦点坐标为，故选A．

6．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，为棱的中点，点在棱上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，在棱BC上取点，使，连接，

因为，为棱的中点，点在棱上，且，

设，可得，，，，

在中，因为，所以，

在直角中，，

在直角中，，

因为D是的中点，所以，所以，

又因为，所以，所以四边形是平行四边形，

所以，所以是异面直线与所成的角，

在中，由余弦定理可得，

即异面直线AC与DE所成角的余弦值是，故选B．

7．已知数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】当时，，则．

当时，，

所以，即，

所以，且，

则是以为首项，为公比的等比数列，

从而，即，故，

因为，所以，则，

故选B．

8．已知函数，的最小正周期为，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

由其最小正周期为，有，所以，

将其图象沿轴向右平移（）个单位，

所得图象对应函数为，

其图象关于对称，则有，

所以，，

由，实数的最小值为，故选B．

9．在中，角，，所对的边分别为，，，设的面积为S，下列条件不能推出的是（    ）

A．，，成等比数列 B．，，成等差数列

C．  D．

【答案】C

【解析】对于A，，，成等比数列，则，所以，当仅当时取等号，所以，故A正确；

对于B，，，成等差数列，则，

所以，当仅当时取等号，

所以，故B正确；

对于C，，则，

因为，所以或者，所以或者，故C错误；

对于D，由得到，所以，

因为，所以，所以，得到，故D正确，

故选C．

10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为为奇函数，所以①；

又为偶函数，所以②；

令，由②得，

又，所以，得，

令，由①得；

令，由②得，所以，

得时，，

结合①②得，，

所以函数的周期为，

所以，故选C．

11．如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、于不同的两点、．若，，则（    ）

A．有最小值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最大值

【答案】B

【解析】本题中，连接，

则

，

因为、、三点共线，所以，由题意可知且，

于是，

当且仅当时，取到最小值，故选B．

12．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（    ）

A．在第9条斜线上，各数之和为55

B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C．在第条斜线上，共有个数

D．在第11条斜线上，最大的数是

【答案】A

【解析】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，

其规律是，

所以第9条斜线上各数之和为，故A错误；

第1条斜线上的数：；

第2条斜线上的数：；

第3条斜线上的数：；

第4条斜线上的数：；

第5条斜线上的数：；

第6条斜线的数：；

……，

依此规律，第n条斜线上的数为：，

在第11条斜线上的数为，最大的数是，

由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；

n为偶数时，第n条斜线上共有个数，

所以第n条斜线上共，故C正确；

由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确，

故选A．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，公众号拾穗者的杂货铺．

13．若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于_________．

【答案】11或12或13

【解析】因为第7项的二项式系数最大，所以，即，

解得，

又n为正整数，所以n的可能取值为11、12、13，

故答案为11或12或13．

14．若，满足，且的最大值为14，则实数的值是_________．

【答案】2

【解析】画出表示的可行域如图：

由，得，则；

由，得，则；

联立，得，则，

当直线经过点时，在y轴截距最大，即取最大值14，

则，所以，

故答案为2．

15．已知，给出下列四个结论：

（1）若，则有两个零点；

（2），使得有一个零点；

（3），使得有三个零点；

（4），使得有三个零点．

以上正确结论的序号是__________．

【答案】（1）（2）（4）

【解析】函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数；

作函数与直线的图象如图，

若，则函数与直线的图象在与上各有一个交点，

则有两个零点，故（1）正确；

若，则当函数与直线的图象相切时，有一个零点，

故（2）正确；

当时，函数与直线的图象至多有两个交点，故（3）不正确；

当且足够小时，函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点，故（4）正确，

故答案为（1）（2）（4）．

16．已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值____________．

【答案】（或）

【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，，

∴，

当且仅当取等号，

∵直线l上存在点P满足，∴，

即，

∴，即，

所以，

故椭圆离心率的最大值为，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，公众号拾穗者的杂货铺．

17．（12分）某校开展党史知识竞赛．现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值；

（2）估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据：，．

【答案】（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有的把握认为．

【解析】（1）由题可得，解得．

（2）平均成绩为：．

（3）∵不及格的人数为15人，∴抽取的总人数为，

∴比赛成绩优秀的有人，

由此可得完整的2×2列联表：

，

∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．

18．（12分）函数，点S是图象上的一个最高点，

点M，N是图象上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为．

（1）求函数的最小正周期；

（2）函数，三角形ABC的三边a，b，c满足，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

故，

故为偶函数且为周期函数，

令，则，即，

因为点S是图象上的一个最高点且为偶函数且为周期函数，

故不妨设，

因为点M，N是图象上的两个对称中心，故，

因为三角形SMN面积的最小值为，故，故，

故的最小正周期为．

（2）由（1）可得，

所以，

因为，故，

故，

而为三角形内角，故，

故，所以，故，

而，故，

而，

故，

即的取值范围为．

19．（12分）如图，在棱长为的正方体中，分别是所在棱的中点．设平面与平面相交于直线．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接，

分别为中点，四边形为平行四边形，，

分别为中点，，，

延长至点且，连接，取中点，连接，

分别为中点，，，

四边形为平行四边形，四点共面，

又四点共面，平面平面，即直线即为直线，

．

（2）以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，，

设平面的法向量，

，令，解得，，；

设平面的法向量，

，令，解得，，，

，

由图形可知：二面角即二面角为锐二面角，

二面角的余弦值为．

20．（12分）已知函数，是其导函数，其中．

（1）若在上单调递减，求a的取值范围；

（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解：，

因为在上单调递减，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

当时，；当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

所以a的取值范围为．

（2）解：由，得，

即对恒成立，

令，，

当时，，不满足；

当时，时，；时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，不符合题意；

当时，时，；时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，解得，

综上所述，a的取值范围．

21．（12分）在直角坐标系中，抛物线与直线交于P，Q两点，且．抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．

（1）求抛物线C的方程；

（2）求面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意可设，，

则，．

因为，所以，故，

又，所以，

故抛物线C的方程为．

（2）

现计算抛物线在点处的切线方程，

对抛物线方程求导得，在N点处的斜率为，

在N点处的切线方程为，整理得，

设，，，

则直线，的方程分别为和．

因为点G在直线，上，所以，

两式相减得，并由①得，

直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为，

整理得直线的方程为．

联立方程组，整理得，

则，，

故，

点到直线的距离，

故的面积，

由题可知，，，则圆M的方程为，

故，

因为，所以，

所以，

故面积的取值范围为，

综上：抛物线的方程为，面积的取值范围为．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）若是直线1上一点，是曲线C上一点，求△OAB的面积．

【答案】（1），；（2）2．

【解析】（1）直线l的参数方程为（其中t为参数），

消去参数t得直线l的直角坐标方程为，

由，，得直线l的极坐标方程，

即，

曲线C的极坐标方程为，所以，

由，，得曲线C的直角坐标方程为．

（2）因为在直线l上，在曲线C上，

所以，解得，

而，

所以△OAB的面积．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

（1）求不等式的解集；

（2）已知，，，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

①当时，，则；

②当时，，则；

③当时，恒成立，则，

综合①②③得不等式的解集为．

（2）因为，则，

∴

，

，，，则，，

所以，

当，即时，等号成立，

即，

故的最小值为．