2022年湖北省武汉市中考数学试卷（含解析）

2022年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 彩民李大叔购买张彩票，中奖．这个事件是

A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

3. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

5. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

6. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为一折线这个容器的形状可能是

A.
B.
C.
D.

8. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在号座位，四位同学随机坐在四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在四边形材料中，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是

A.
B.
C.
D.

10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图就是一个幻方．图是一个未完成的幻方，则与的和是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算的结果是______．
12. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是______．

13. 计算：的结果是______ ．
14. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是______

15. 已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
    ；
    若，则；
    若点，在抛物线上，，且，则；
    当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
    其中正确的是______填写序号．
16. 如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，若，，则四边形的面积是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组请按下列步骤完成解答．
    解不等式，得______；
    解不等式，得______；
    把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    
    原不等式组的解集是______．
18. 如图，在四边形中，，．
    求的度数；
    平分交于点，求证：．

19. 为庆祝中国共青团成立周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    本次调查的样本容量是______，项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中项活动的人数是______；
    若该校约有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
20. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
    判断的形状，并证明你的结论；
    若，，求的长．

21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
    在图中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
    在图中，是边上一点，先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．

22. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
    
    小聪测量黑球减速后的运动速度单位：、运动距离单位：随运动时间单位：变化的数据，整理得下表．

小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

23. 问题提出
    如图，在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
    问题探究
    先将问题特殊化．如图，当时，直接写出的值；
    再探究一般情形．如图，证明中的结论仍然成立．
    问题拓展
    如图，在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点直接写出的值用含的式子表示．

24. 抛物线交轴于，两点在的左边，是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
    直接写出，两点的坐标；
    如图，当时，在抛物线上存在点异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
    如图，直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为求的值用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义直接求解．
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：彩民李大叔购买张彩票，中奖．这个事件是随机事件，
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】解：，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】

【解析】解：反比例函数中的，
该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限即可得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平缓，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项D．
故选：．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
 

8.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为，
故A，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，当，，相切于于点，，时时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点．

，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，
则有，
，
故选：．
如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点利用面积法构建方程求解．
本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：法一、

；
法二、

．
故答案为：．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由表知，这组数据中出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

13.【答案】

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先通分，再加减．
本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为．
，
．
在中，
，
，．
，
．
在中，
，


．
故答案为：．
过点作，在中先求出，再在中利用边角间关系求出．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，

，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确，
故答案为：．
正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
错误．；
正确．由题意，抛物线的对称轴直线，，由点，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
正确，证明判别式即可．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，

为直角三角形，四边形，为正方形，过点作的垂线，，
，，，，，，，，
，，
，，
≌，≌，
，，，，
，
≌，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可证得≌，≌，可得，，可证得≌，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，，从而可得，可得与，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质进行求解．
 

17.【答案】   

【解析】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来为：

原不等式组的解集为：．
故答案为：；
；
．
分别解这两个不等式，把不等式和的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
；
证明：平分，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出；
根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论．
本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是人，
故答案为：，，；
人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人．
根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
 

20.【答案】解：为等腰直角三角形．理由如下：
平分，平分，
，．
，，
．
．
为直径，

是等腰直角三角形．
另解：计算也可以得证．
解：连接、、，交于点．
．
．
．
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在和中，，
解得，
．
．
另解：分别延长，相交于点则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得．

【解析】由角平分线的定义可知，，，所以，所以，因为为直径，所以，所以是等腰直角三角形．
连接、、，交于点因为所以因为所以垂直平分由是等腰直角三角形，，可得因为设，则在和中，，解出的值即可．
此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题关键．
 

21.【答案】解：如图中，点，点即为所求；
如图中，线段，点即为所求．
 

【解析】构造平行四边形即可解决问题，交格线于点，连接交于点，点，点即为所求；
取格点，，，连接，交于点，连接，，交于点，连接，延长交于点，线段，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设，将，代入，得，
解得，，
；
设，将，，代入，得，
解得，
．
令，即，
解得或，
当时，；
当时，舍；
设黑白两球的距离为，
根据题意可知，

，
，
当时，的最小值为，
黑白两球的最小距离为，大于，黑球不会碰到白球．
另解：当时，，判定方程无解．
另解：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于．

【解析】设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法求解即可；
令，代入中关系式，可先求出，再求出的值即可；
设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
 

23.【答案】解：如图，取的中点，连接，

点是的中点，
是的中位线，
，
，，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
取的中点，连接，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
；
问题拓展
取的中点，连接，

由同理可证明≌，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．

【解析】问题探究
取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得点为的中点，从而得出答案；
取的中点，连接，利用证明≌，得，则，再根据，得∽，从而得出答案；
问题拓展
取的中点，连接，由同理可证明≌，得，得，再根据，得∽，同理可得答案．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，得，
解得或，
，；

，
，
直线的解析式为．
若点在的下方时，
过点作的平行线与抛物线交点即为．
，，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
的横坐标为．
若点在的上方时，点关于点的对称点，
过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．
直线的解析式为，
由，可得，
解得或，
，的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点的横坐标为，，．

设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，
由，可得，
设，是方程的两根，则，

，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
同法可得
，
，
，
 

【解析】令，解方程可得结论；
分两种情形：若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．构建方程组分别求解即可；
设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，由，可得，设，是方程的两根，则，推出可得，设直线的解析式为，同法可得推出，推出，推出，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．