2022年湖北省随州市中考数学试卷（含解析）

2022年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，直线，直线与，相交，若图中，则为

A.
B.
C.
D.

3. 小明同学连续次测验的成绩分别为：，，，，单位：分，则这组数据的众数和平均数分别为

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

4. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是

A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 三个视图均相同
 

5. 我国元朝朱世杰所著的算学启蒙中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

6. 年月日时分秒，神舟号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

7. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是

A. 张强从家到体育场用了 B. 体育场离文具店
C. 张强在文具店停留了 D. 张强从文具店回家用了

8. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有
   图中的三角形都是等腰直角三角形；
   四边形是菱形；
   四边形的面积占正方形面积的．

A. 只有 B.  C.  D.

9. 如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论正确的有
    ；
    ；
    函数的最大值为；
    若关于的方程无实数根，则．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. 如图，点，，在上，若，则的度数为______．
    
    
     

13. 已知二元一次方程组，则的值为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为______．
    
     

15. 已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值设为正整数，若是大于的整数，则的最小值为______，最大值为______．
16. 如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，连接如图，将绕点逆时针旋转角，使，连接并延长交于点则的度数为______，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解分式方程：．
18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
    求的取值范围；
    若，求的值．
19. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
    求证：；
    已知平行四边形的面积为，，求的长．

20. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
    
    根据图中信息，解答下列问题：
    参加问卷调查的学生共有______人；
    条形统计图中的值为______，扇形统计图中的度数为______；
    根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；
    现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
21. 如图，已知为上一点，点在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点，且．
    判断与的位置关系，并说明理由；
    若，，
    求的半径；
    求的长．

22. 年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数经过连续天的销售统计，得到第天，且为正整数的供应量单位：个和需求量单位：个的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数

直接写出与和与的函数关系式；不要求写出的取值范围
已知从第天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到即前天的总需求量超过总供应量，前天的总需求量不超过总供应量，求的值；参考数据：前天的总需求量为个
在第问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为元，求第天与第天的销售额．

23. 几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
    我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号
    
    公式：
    公式：
    公式：
    公式：
    图对应公式______，图对应公式______，图对应公式______，图对应公式______．
    几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图，请写出证明过程；已知图中各四边形均为矩形
    如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，作于点，过点作交的延长线于点记与的面积之和为，与的面积之和为．
    若为边的中点，则的值为______；
    若不为边的中点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且，为抛物线上一动点．
    直接写出抛物线的解析式；
    如图，连接，当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
    设为抛物线对称轴上一动点，当，运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点及其对应点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等，便可求得结果．
本题考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质．
 

3.【答案】

【解析】解：这组数据中，出现了次，次数最多，
这组数据的众数为，
这组数据的平均数．
故选：．
观察这组数据发现出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为，将五个数据相加求出之和，再除以即可求出这组数据的平均数．
此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算术平均数即为所有数之和与数的个数的商．
 

4.【答案】

【解析】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个实心圆．
故选：．
根据三视图的定义判断即可．
此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 

5.【答案】

【解析】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得：．
故选：．
设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：


米，
故选：．
根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由图象知，
A、张强从家到体育场用了，故A选项不符合题意；
B、体育场离文具店，故B选项符合题意；
C、张强在文具店停留了，故C选项不符合题意；
D、张强从文具店回家用了，故D选项不符合题意；
故选：．
由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可．
本题主要考查函数图象的知识，熟练根据函数图象获取相应的信息是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，，分别为，的中点，
为的中位线，
，
，
，
四边形为正方形，
、、、在同一条直线上，
、、、、、、、、都是等腰直角三角形，
，分别为，的中点，
，，
、也是等腰直角三角形．
故正确；
根据得，
四边形不是菱形．故错误；
，分别为，的中点，
，，
四边形是正方形，且设，
，
，
，
，
点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
过作于，
，
四边形的面积，
四边形的面积占正方形面积的故错误．
故选：．
利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；
利用的结论可以证明解决问题；
如图，过作于，设，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出和即可判定是否正确．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了中位线的性质，也考查了正方形的面积公式和三角形的面积公式，综合性比较强，能力要求比较高．
 

9.【答案】

【解析】解：设，
在中，，
，
，
在中，，
解得．
故选：．
设，在中，，可得，则，在中，，求解即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故错误．
抛物线的对称轴是直线，
，
，故正确．
抛物线交轴于点，，
可以假设抛物线的解析式为，
当时，的值最大，最大值为，故正确．
无实数根，
无实数根，
，，
，
，
，故正确，
故选：．
错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
正确．设抛物线的解析式为，当时，的值最大，最大值为；
正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式，解不等式即可．
本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由圆周角定理得：，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

13.【答案】

【解析】解：解法一：由可得：
，
代入第二个方程中，可得：
，
解得：，
将代入第一个方程中，可得
，
解得：，
，
故答案为：；
解法二：，
由可得：
，
故答案为：．
将第一个方程化为，并代入第二个方程中，可得，解得，将代入第一个方程中，可得，即可求解．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作轴于点．

直线与轴，轴分别交于点，，
，，
，
，
，
，
，
，
点在上，
，
故答案为：．
过点作轴于点求出点的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，且为整数，
最小为，
是大于的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故答案为：；．
先将化简为，可得最小为，由是大于的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．
本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，交于点，过点作于点．

，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：，．
如图，设交于点，交于点，过点作于点证明∽，推出，可得，解直角三角形求出，，，再利用平行线分线段成比例定理求出，再根据，可得，求出．
本题考查矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：左右两边同时乘以得
，
，
．
检验：把代入原方程得，等式成立，
所以是原方程的解．
故答案为：．

【解析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可．
考查解分式方程，关键是去分母把分式变整式．
 

18.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据题意得，
，
，
解得，，
，
．

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，再利用得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则也考查了根的判别式．
 

19.【答案】证明：四边形为正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即；
解：平行四边形的面积为，，四边形为正方形，
，，
，
，
由知：，
．

【解析】根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后即可得到结论成立；
根据平行四边形的面积，可以得到的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，从而可以求得的长，再根据中的结论，即可得到的长．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】     

【解析】解：人，
参加问卷调查的学生共有人．
故答案为：．
，
，
故答案为：；．
人，
估计该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人．
故答案为：．
画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
利用即可求出参加问卷调查的学生人数．
根据，即可得出答案．
用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可．
画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：结论：是的切线；
理由：如图，连接．
，，
，，
是的切线，是半径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

设，
，
，
，
，
的半径为；

在中，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
负根已经舍去，
．

【解析】结论：是的切线；只要证明即可；
根据，构建方程求解即可；
证明∽，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：根据题意得：，
设，将，，代入得：
，
解得，
；
前天的总供应量为个，
前天的供应量为个，
在中，令得，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量超过总供应量，前天的总需求量不超过总供应量，
，
解得，
为正整数，
的值为或；
由知，最小值为，
第天的销售量即供应量为，
第天的销售额为元，
而第天的销售量即需求量为，
第天的销售额为元，
答：第天的销售额为元，第天的销售额为元．

【解析】由已知直接可得，设，用待定系数法可得；
求出前天的总供应量为个，前天的供应量为个，根据前天的总需求量为个，前天的总需求量为个，可得，而为正整数，即可解得的值为或；
最小值为，从而第天的销售量即供应量为，销售额为元，第天的销售量即需求量为，销售额为元．
本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
 

23.【答案】       

【解析】解：观察图象可得：
图对应公式，图对应公式，图对应公式，图对应公式；
故答案为：，，，；
证明：
如图：

由图可知，矩形和矩形都是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
解：设，
由已知可得、、、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，
是中点，
，
，，
，
，
；
故答案为：；
不为边的中点时中的结论仍成立，证明如下：
设，，
由已知可得、、、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，，，
，
，
．
观察图象可得图对应公式，图对应公式，图对应公式，图对应公式；
由图可得，即可得，从而有，故；
设，可得，由是中点，即得，，，即得；
设，，可得，，，，，，从而．
本题考查四边形综合应用，涉及平方差、完全平方公式的推导及应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，抛物线交轴于点，，
，
，
，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入抛物线的解析式，得，
抛物线的解析式为；

如图中，连接设，

，


，
，
当时，的值最大，最大值为，此时；

存在，理由如下：
如图中，当点在轴上时，四边形是矩形，此时，；

如图中，当四边形是矩形时，设，，则，

由题意，，
解得，消去得，，
解得，
，或，．
综上所述，满足条件的点，或，或，．

【解析】判断出，两点坐标，可以假设抛物线的解析式为，把代入抛物线的解析式，得，可得结论；
如图中，连接设，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
分两种情形，点在轴上，点在轴上，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．