山东省日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题

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山东省日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．若复数（i为虚数单位），则（       ）

A． B． C．1 D．

3．已知向量，则在方向上的投影是（       ）

A． B． C． D．

4．下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（       ）

A． B．

C． D．

5．设且，则“函数在上是增函数”是“函数”在“上是增函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

7．在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（       ）

A．14 B．34 C．41 D．86

8．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（       ）

A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率

C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率

9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（       ）

A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显

B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大

C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大

D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势

10．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．设抛物线的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的有（       ）

A．准线l的方程是 B．以线段MF为直径的圆与y轴相切

C．的最小值为5 D．的最大值为2

12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（       ）

A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱

D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．在的展开式中,若第三项和第七项的系数相等,则__________．

14．已知函数的部分图像如图所示，则________．

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．

16．如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．

17．已知平面四边形ABCD中，ABDC，，，，.

（1）求BC的长；

（2）求△BCD的面积.

18．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：

注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．

(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?

(2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望．

19．如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，M为上的动点.

(1)当M为的中点时，证明：；

(2)求与平面所成角的正弦值的取值范围.

20．已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，．

(1)若，求；

(2)已知，且对任意恒成立，求数列的前n项和．

21．已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．

(1)若，求直线的方程；

(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据集合的交集、补集运算即可.

【详解】

，

所以，

故选：B

2．B

【解析】

【分析】

复数的分式运算，同乘共轭复数，利用模长公式即可得到答案.

【详解】

,,

故选：B.

3．C

【解析】

【分析】

求出，再利用向量的投影公式计算求解.

【详解】

由题得，

在方向上的投影是.

故选：C

4．A

【解析】

【分析】

先排除选项BD,再求双曲线的渐近线判断得解.

【详解】

解：由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项BD不满足题意,

选项A中双曲线的渐近线为，两渐近线的斜率乘积为-1，所以两渐近线互相垂直，所以选项A满足题意；

选项C中双曲线的渐近线为，两渐近线的斜率乘积不为-1，所以两渐近线不互相垂直，所以选项C不满足题意.

故选：A

5．A

【解析】

【详解】

函数在上是增函数，可得，

函数在上是增函数，可得，

所以“函数在上是增函数”是“函数”在“上是增函数”的充分不必要条件，

故选：A.

6．B

【解析】

由奇函数性质结合已知单调性得出函数在上的单调性，再由奇函数把不等式化为，然后由单调性可解得不等式．

【详解】

∵是奇函数，在上递减，则在上递减，

∴在上是减函数，

又由是奇函数，则不等式可化为，

∴，．

故选：B．

【点睛】

方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：

（1）为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为转化为，然后由单调性去掉函数符号“”，再求解；

（2）是偶函数，在上单调，不等式为，首先转化为，然后由单调性化简．

7．C

【解析】

【分析】

根据题意求得，得到，再由等差数列的通项公式，求得，列出方程，即可求解.

【详解】

因为成公比为3的等比数列，可得，所以

又因为数列为等差数列，所以公差，

所以，

所以，解得.

故选：C.

8．A

【解析】

【分析】

结合图形，利用条件概率公式的变形及和事件的概率即可得解.

【详解】

由题意可知：

，

故选：A

9．ABC

【解析】

【分析】

利用折线图逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，由图可知，近四年北京师范大学录取分数排名比较稳定，排名变化最不明显，A对；

对于B选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的平均值为，

华南师范大学录取分数排名的平均值为，

由图观察可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名的平均值都比湖南师范大学录取分数排名的小，B对；

对于C选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的极差为，

华南师范大学录取分数排名的极差为，

由图可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名变化不大，

这两所学校录取分数排名的极差比华南师范大学录取分数排名的极差小，

故近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大，C对.

对于D选项，近四年华中师范大学录取分数的排名越来越靠前，该校的生源质量越来越好，D错.

故选：ABC.

10．AD

【解析】

【分析】

利用空间直线和平面的位置关系可以判定宣新年AD正确；B. 或或或与斜交，所以该选项错误；C. 或，所以该选项错误.

【详解】

解：A. 若，则，所以该选项正确；

B. 若，则或或或与斜交，所以该选项错误；

C. 若，则或，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项正确.

故选：AD

11．BC

【解析】

【分析】

根据抛物线方程，求得准线方程，可判断A的正误；设，设MF的中点为D，求得D点坐标，分析即可判断B的正误；过M作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义，可得当E、M、N三点共线时，有最小值，计算即可判断C的正误；根据三角形的性质可得当E、F、M共线时，有最大值，计算即可判断D的正误，即可得答案

【详解】

对于A：由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，故A错误

对于B：设，设MF的中点为D，

则，D坐标为，

所以，即D点到点M、F和y轴距离相等，

所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确.

对于C：过M作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线定义得，

所以，

由图象可得，当E、M、N三点共线时，有最小值，即为，

所以的最小值为5，故C正确；

对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得，

如图所示，当E、F、M共线时，有最大值，且为，

所以的最大值为，故D错误；

故选：BC

12．AC

【解析】

【分析】

设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD.

【详解】

设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，

对于A，∴，

则，

∴，即甲比乙工作效率高，故A正确；

对于B，，∴，

则，

∴，即甲比乙工作效率高，故B错误：

对于C，，

∴，

∴，

所以，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；

对于D，，

∴，∴，

所以，即甲比乙劳累程度弱，故D错误．

故选：AC

13．8

【解析】

【详解】

分析：根据二项展开式的通项得到关于的等式，求解可得结果．

详解：展开式的通项为，

∵第三项和第七项的系数相等，

∴，

解得．

点睛：本题考查二项展开式的通项和组合数的性质，解题的关键是正确得到通项，同时也考查学生对组合数的运算能力．

14．##

【解析】

【分析】

根据函数的周期求出的值，再根据五点法求出即得解.

【详解】

解：由知，，由五点法可知，

，即，又，所以

故答案为：

15．##

【解析】

【分析】

根据等比数列和正弦定理求出，再利用余弦定理即得解.

【详解】

解：由成等比数列，得，又

所以，所以.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

根据题意得到的值，可得轨迹为圆弧，求出其半径，进而求得弧长，得到答案.

【详解】

如图所示：因为与平面所成的角为30°，点在平面上的射影，，

所以，

所以的轨迹为直角三角形绕斜边旋转所形成的轨迹，

在直角中，作，垂足为，

因为，可得，

即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，

又因为二面角的平面角的大小为，

所以点的轨迹的长度等于.

故答案为：.

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在中，先求出，由正弦定理可得答案.

（2）由条件可得，在中由余弦定理可得的长，再根据三角形的面积公式可得答案.

【详解】

（1）在中，，则，

由正弦定理得，

所以

（2）因为，所以，

在中，有余弦定理得，

即

即，则，

所以.

18．(1)分别在第3组，第2组

(2)分布列见解析，

【解析】

【分析】

(1)根据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果；

(2)利用二项分布求概率公式分别求出，

进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可.

(1)

早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，

晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．

(2)

X的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

所以随机变量X的分布列为：

所以随机变量X的数学期望为

.

19．(1)证明见详解.

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据面面垂直得线面垂直,进而可得线线垂直,根据菱形对角线可得垂直,由线面垂直得线线垂直.

（2）建立空间直角坐标系,利用法向量与直线的方向向量的夹角来求解.

(1)

连接

由可知:四边形均为含的菱形,故

当M为的中点时,则,又侧面侧面,侧面侧面,故平面,从而,

,所以平面,平面, 故

(2)

取中点为,因为侧面侧面,,

故可建立如图所示的空间直角坐标系.,设 则

设平面的法向量为

由 ,令

设与平面所成角为,所以

当时,

当时, ,

所以

综上故

【点睛】

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意列出方程组，求得，即可求出的值；

（2）当n为偶数时，根据恒成立证得，n为奇数时，由，恒成立证得，所以，又由，解得，即可求得的前n项和.

(1)

由题意得，当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

由，得，

解得，所以．

(2)

当n为偶数时，由恒成立，得，

即恒成立，所以且d1>1，

当n为奇数时，由，恒成立，得，

即恒成立，所以，因此，

又由，得，

即，解得，

所以，即数列是等差数列，

所以．

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意求出椭圆方程，设直线的方程为，设直线的方程为，设，由，求得，从而可求得，同理求得，从而可求得，即可得解；

（2）设，由，得，代入椭圆的方程，可求得，同理可求得，从而可得出答案.

(1)

解：由已知过点，得，①

由，②

由①、②，得，

故椭圆C的方程为，

若，

设直线的方程为，设直线的方程为，设，

由，得，解得，

故，

同理，，

，则，，

故直线的方程为；

(2)

解：设，

由，得，

故，

代入椭圆的方程得（3），

又由，得，

代入（3）式得，，

化简得，，即，

显然，故，

同理可得，

故，

所以的最小值．

22．(1)单调递减区间是，单调递增区间是

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）当时，求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间；

（2）根据题意得到，令，求得，

令，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而求得函数的的单调性与最值，即可求解.

(1)

解：当时，，

则，当时,恒成立，

所以当时，单调递减；

当时单调递增，

即的单调递减区间是，单调递增区间是．

(2)

解：由题意，函数，

设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又由，所以，

令，可得，所以，其中，

令，可得，

令，则，

可得时，单调递减；时，单调递增；

所以，即时，恒成立；

故时，单调递减；时，单调递增；

所以﹐

又由时，，当时，，

函数的图象，如图所示，

结合图象可得：

当时，无零点；当或时，一个零点；当时，两个零点．