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山东省日照市2022届高三下学期3月一模考试数学试题 含答案
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这是一份山东省日照市2022届高三下学期3月一模考试数学试题 含答案，共7页。试卷主要包含了 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
参考公式：
圆柱侧面积 圆锥侧面积
圆台侧面积 球表面积
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则图中阴影部分所表示集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2. 复平面内表示复数的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
3. 若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
【答案】A
4. 已知角的终边经过点，则角可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
7. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. PQ为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ绕l一周所得旋转面面积为，以MN为直径的球面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（ ）
A. 变量y与x呈正相关B. 样本点的中心为（10，14.4）
C. D. 当时，y估计值为13
【答案】AB
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称B. 时，函数的值域为
C. 函数图象关于点中心对称D. 函数的最小正周期是8
【答案】BCD
11. 已知曲线，则（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C上任意点P满足（O为坐标原点)
C. 曲线C与有且仅有两个公共点
D. 曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）
【答案】BC
12. 已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体的体积为V，则正确的是（ ）
A. O，E，，四点共圆B.
C. D. V的最大值为
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项为__________．
【答案】
14. 已知数列是正项等比数列，函数两个零点是，，则______.
【答案】
15. 设函数，已知，且，若的最小值为e，则a的值为______.
【答案】##
16. 已知向量，，，则______.
【答案】
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面积.
【答案】（1） ；
（2）.
18. 已知数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前100项的和.
【答案】（1），
（2）
19. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为.
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】（1）在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE
（2）
20. 春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
21. 已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）令，若是极大值点，求实数a值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；
（3）平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）.
x
2
4
7
10
15
22
y
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
参考公式：
圆柱侧面积 圆锥侧面积
圆台侧面积 球表面积
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则图中阴影部分所表示集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2. 复平面内表示复数的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
3. 若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
【答案】A
4. 已知角的终边经过点，则角可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
7. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. PQ为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ绕l一周所得旋转面面积为，以MN为直径的球面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（ ）
A. 变量y与x呈正相关B. 样本点的中心为（10，14.4）
C. D. 当时，y估计值为13
【答案】AB
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称B. 时，函数的值域为
C. 函数图象关于点中心对称D. 函数的最小正周期是8
【答案】BCD
11. 已知曲线，则（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C上任意点P满足（O为坐标原点)
C. 曲线C与有且仅有两个公共点
D. 曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）
【答案】BC
12. 已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体的体积为V，则正确的是（ ）
A. O，E，，四点共圆B.
C. D. V的最大值为
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项为__________．
【答案】
14. 已知数列是正项等比数列，函数两个零点是，，则______.
【答案】
15. 设函数，已知，且，若的最小值为e，则a的值为______.
【答案】##
16. 已知向量，，，则______.
【答案】
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面积.
【答案】（1） ；
（2）.
18. 已知数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前100项的和.
【答案】（1），
（2）
19. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为.
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】（1）在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE
（2）
20. 春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
21. 已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）令，若是极大值点，求实数a值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；
（3）平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）.
x
2
4
7
10
15
22
y
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
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