2023届高考物理（新鲁科版）一轮总复习讲义第四章　曲线运动与万有引力定律

专题强化五　卫星运动的“两个热点”问题

热点一　卫星运行参量的分析

1.卫星运动参量与轨道半径的关系

(1)线速度：G＝m⇒v＝

(2)角速度：G＝mrω2⇒ω＝

(3)周期：G＝mr()2⇒T＝2π

(4)向心加速度：G＝ma⇒a＝

结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。

2.近地卫星和同步卫星   

卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。

(1)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。

(2)同步卫星

①轨道平面与赤道平面共面。

②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。

③高度固定不变，h＝3.6×107 m。

④运行速率均为v＝3.1×103 m/s。

　卫星运动参量与轨道半径关系

【真题示例1】 (多选)(2021·湖南卷)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是(　　)

A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的()2

B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s

C.核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h

D.后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小

答案　AC

解析　根据万有引力公式F＝可知，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与轨道半径的平方成反比，则核心舱进入轨道后所受地球的万有引力与它在地面时所受地球的万有引力大小之比＝，解得F′＝()2F地，A正确；根据G＝可得，v＝＝7.9 km/s，而核心舱轨道半径r大于地球半径R，所以核心舱在轨道上飞行的速度一定小于7.9 km/s，B错误；由G＝mr得绕地球做圆周运动的周期T与成正比，核心舱的轨道半径比同步卫星的小，故核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h，C正确；根据G＝m可知空间站的轨道半径与空间站的质量无关，故后续加挂实验舱后，轨道半径不变，D错误。

　有关地球同步卫星问题

【真题示例2】 (2019·北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)

A.入轨后可以位于北京正上方

B.入轨后的速度大于第一宇宙速度

C.发射速度大于第二宇宙速度

D.若发射到近地圆轨道所需能量较少

答案　D

解析　同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的环绕速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。

【针对训练1】 假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　“嫦娥五号”绕月飞行时，月球对其万有引力提供向心力，G＝

mr月，地球同步卫星围绕地球运动时，万有引力提供向心力G＝

m′nr地；又因为M中＝ρπr3，且地球密度为月球密度的k倍；所以＝＝，故A正确。

【针对训练2】 如图1所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。则(　　)

图1

A.卫星b也是地球同步卫星

B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍

C.卫星c的周期为T

D.a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为

va＝vb＝vc

答案　C

解析　卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误；根据G＝ma可得a＝，即＝＝，B错误；根据开普勒第三定律＝可得Tc＝＝Ta＝T，C正确；根据公式G＝m可得v＝，故va＝vb＜，D错误。

热点二　卫星变轨和能量问题

若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ，则需要在A处、B处各点火加速一次；若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ，则需要在B处、A处各制动减速一次，各种物理量的比较如下表所示。

【例3】 (多选)(2021·八省联考湖北卷)“嫦娥五号”取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图2所示为“嫦娥五号”着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是(　　)

图2

A.在轨道Ⅱ运行时，“嫦娥五号”在Q点的机械能比在P点的机械能大

B.“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长

C.“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等

D.“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等

答案　BC

解析　在同一轨道上运动时，“嫦娥五号”的机械能守恒，A错误；由开普勒第三定律＝k可知，半长轴越大，周期越长，故“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，B正确；由牛顿第二定律＝ma可知a＝，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C正确；由Ⅱ轨道在Q点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见vⅡQ>vⅢQ，D错误。

【针对训练3】 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　)

A.飞船加速直到追上空间站，完成对接

B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接

C.飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接

D.无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接

答案　B

解析　飞船在轨道上正常运行时，有G＝m。当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则G＜m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误。

【针对训练4】 (2021·北京昌平区5月联考)2021年2月10日，“天问一号”火星探测器被火星捕获，成功实现环绕火星，经过变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图3所示。下列说法正确的是(　　)

图3

A.“天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速

B.“天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点的小

C.“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N点的小

D.“天问一号”在停泊轨道上运行周期比在调相轨道上的小

答案　D

解析　“天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处减速，选项A错误；根据G＝ma得a＝，因为P点离火星更近，所以“天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点的加速度大，选项B错误；“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，因为P点是近火点，根据开普勒第二定律分析可知经过P点时的线速度比N点的大，选项C错误；“天问一号”在停泊轨道上运行时轨道半长轴较小，根据开普勒第三定律可知，周期比在调相轨道上运行时的小，选项D正确。

题型自我感悟

万有引力定律应用的命题向着简单化的方向发展，主要考查的问题是卫星的运动以及运动中能量问题，请根据以上题目的分析，总结以下问题：

1.卫星变轨的理论依据是什么？

提示　主要是看F向与F万的关系，当万有引力小于圆周运动向心力时远离中心天体，反之，靠近中心天体。

2.变轨过程中卫星受力的做功情况如何？动能和总能量是如何变化的？

提示　变轨过程中万有引力做功，当远离中心天体时，万有引力做负功，动能减小，总能量增大；反之，万有引力做正功，动能增大，总能量减小。

对点练 卫星运行参量的分析

1.(2021·天津红桥区质调)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)

A.入轨后向心加速度大于地球表面赤道上物体随地球自转的向心加速度

B.入轨后的速度等于第一宇宙速度

C.该卫星的机械能小于同质量的近地卫星的机械能

D.该卫星可以定位在天津上空一定高度处

答案　A

解析　同步卫星与地球表面赤道上物体具有相同角速度，根据a＝rω2可知，入轨后向心加速度大于地球表面赤道上物体随地球自转的向心加速度，故A正确；第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，最大的圆周运行速度，所有卫星的运行速度都不大于第一宇宙速度，故B错误；从近地轨道进入同步轨道需要点火加速，所以该卫星的机械能大于同质量的近地卫星的机械能，故C错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点在赤道正上方，不会位于天津正上方，故D错误。

2.(2021·湖北武汉市调研)截至2020年11月，被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜运行稳定可靠，发现脉冲星数量超过240颗，将于2021年8月面向全球科学界开放。脉冲星实质是快速自转的中子星，每自转一周，就向外发射一次电磁脉冲信号，因此而得名。若观测到某个中子星发射电磁脉冲信号的周期为T，该中子星的半径为R，已知引力常量为G，则以下物理量可以求出的是(　　)

图1

A.该中子星的质量

B.该中子星的第一宇宙速度

C.该中子星表面的重力加速度

D.该中子星赤道上的物体随中子星转动的线速度

答案　D

解析　根据题中条件不能求解中子星的质量M，A错误；根据G＝m，中子星的质量M未知，不能求解中子星的第一宇宙速度，B错误；根据G＝mg，中子星的质量M未知，不能求解中子星表面的重力加速度，C错误；根据v＝，可求解该中子星赤道上的物体随中子星转动的线速度，故选项D正确。

3.(2020·天津卷)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)

图2

A.周期大   B.线速度大

C.角速度大   D.加速度大

答案　A

解析　近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得线速度v＝，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得G＝mr，解得周期T＝2π，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A正确；由ω＝，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得G＝ma，解得加速度a＝G，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。

4.(2020·全国Ⅱ卷，15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m，又M＝ρ·，解得T＝，A项正确，B、C、D项错误。

5.(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图3所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)

图3

A.轨道周长之比为2∶3

B.线速度大小之比为∶

C.角速度大小之比为2∶3

D.向心加速度大小之比为9∶4

答案　C

解析　火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mrω2，解得a＝，v＝，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错误；角速度大小之比为2∶3，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。

6.(2021·河北卷，4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由万有引力提供向心力有G＝mr()2，解得r＝，所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值＝＝＝。故A、B、C错误，D正确。

对点练 卫星变轨和能量问题

7.(2021·湖北恩施等三校4月联考) 2020年11月28日20时58分，“嫦娥五号”探测器经过112小时奔月飞行，在距月球表面约400 km处成功实施第一次近月制动，“嫦娥五号”探测器顺利进入环月椭圆轨道，一天后，“嫦娥五号”探测器又成功实施第二次近月制动，进入200 km高度的最终环月圆轨道。已知月球质量为7.342×1022 kg，半径为1 738 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，≈1.6。以下说法正确的是(　　)

图4

A.“嫦娥五号”探测器在环月椭圆轨道的运动周期小于在最终环月圆轨道的运动周期

B.“嫦娥五号”探测器在环月椭圆轨道的机械能小于在最终环月圆轨道的机械能

C.“嫦娥五号”探测器在最终环月圆轨道的线速度约为1.6 km/s

D.在月球上发射卫星的第一宇宙速度为7.9 km/s

答案　C

解析　根据开普勒第三定律可得＝k，环月椭圆轨道的半长轴大于最终环月圆轨道的半长轴(半径)，所以“嫦娥五号”探测器在环月椭圆轨道的运动周期大于在最终环月圆轨道的运动周期，故A错误；“嫦娥五号”探测器在环月椭圆轨道上做近月制动进入最终环月圆轨道，推力对探测器做负功，探测器机械能减少，所以“嫦娥五号”探测器在环月椭圆轨道的机械能大于在最终环月圆轨道的机械能，故B错误；根据万有引力提供向心力可得＝m，解得v＝＝ m/s＝1.6 km/s，故C正确；在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小近似等于探测器在月球表面的运行速度，根据v1＝，代入数据得v1＝1.71 km/s，故D错误。

8.(多选)(2021·福建南平市质检)2020年11月24日，“长征五号”遥五运载火箭托举“嫦娥五号”向着月球飞驰而去。12月17日，在闯过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，历经重重考验的“嫦娥五号”返回器携带月球样品，成功返回地面。如图5为“嫦娥五号”发射到达环月轨道的行程示意图，下列说法正确的是(　　)

图5

A.在地月转移轨道上无动力奔月时，动能不断减小

B.接近环月轨道时，需要减速才能进入环月轨道

C.“嫦娥五号”在地月转移轨道上运动的最大速度小于11.2 km/s

D.“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中地球引力越来越小，处于失重状态

答案　BC

解析　在地月转移轨道上无动力奔月时，受月球的引力作用，则动能不断增大，选项A错误；接近环月轨道时，需要减速制动，才能被月球俘获，进入环月轨道，选项B正确；“嫦娥五号”在地月转移轨道上没有脱离地球的引力，则运动的最大速度小于11.2 km/s，选项C正确；“嫦娥五号”在地球表面加速升空过程中，加速度方向向上，则处于超重状态，选项D错误。

9.(多选) (2021·湖南岳阳市教学质检)“天问一号”火星探测器于2020年7月23日，在中国文昌航天发射场由“长征五号”遥四运载火箭发射升空，如图6所示，设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g0，“天问”一号在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次点火进入轨道半径为4R的圆形轨道Ⅲ，绕地球做圆周运动，设“天问”一号质量保持不变。则(　　)

图6

A.“天问”一号在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为1∶8

B.“天问”一号在轨道Ⅲ的运行速率大于

C.“天问”一号在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅲ上的加速度

D.“天问”一号在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能

答案　AD

解析　由开普勒第三定律得＝，解得＝，故A正确；“天问”一号在轨道Ⅲ运行时，由万有引力提供向心力得G＝m，又GM＝g0R2，联立解得v＝，故B错误；根据公式＝ma可知，半径越大加速度越小，则“天问”一号在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，故C错误；探测器在A、B点进入高轨道时，都进行了点火加速，机械能增加，则“天问”一号在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故D正确。

10.(2021·湖北八市3月联考)2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并将于今年5月择机实施降轨，软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，如图7所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。关于探测器，下列说法正确的是(　　)

图7

A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速

B.在轨道Ⅱ的运行周期小于沿轨道Ⅲ的运行周期

C.在轨道Ⅱ运行的线速度大于火星的第一宇宙速度

D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于Q点的线速度

答案　A

解析　探测器由高轨道进入低轨道需要点火减速，即由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据周期公式T＝2π可知，轨道半径越大周期越大，所以在轨道Ⅱ的运行周期大于沿轨道Ⅲ的运行周期，B错误；根据v＝可知，在轨道Ⅱ运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，在近火星点的线速度大于远火星点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于Q点的线速度，D错误。

11.(2021·湖北卷，7)2021年5月，“天问一号”探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出(　　)

A.地球与火星的动能之比

B.地球与火星的自转周期之比

C.地球表面与火星表面重力加速度大小之比

D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比

答案　D

解析　设地球和火星的公转周期分别为T1、T2，则地球和火星的角速度分别为ω1＝、ω2＝，由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则ω1t－ω2t＝2π，由以上可解得T2＝月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比T1∶T2＝7∶13，但不能求出两星球自转周期之比，B错误；由开普勒第三定律＝可求得地球与火星的轨道半径之比，又由公式G＝m得v＝，即地球与火星的线速度大小之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A错误；由公式G＝mg得g＝，由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度大小之比不可求，C错误；由公式G＝ma得a＝，由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D正确。

12.(2021·河北唐山市二模)随着地球上的能源不断消耗，寻找人类的第二家园也越发显得重要，科学家在2014年6月发现了可能宜居的系外行星开普坦－B，该行星的质量为地球的k倍，半径为地球的m倍，自转周期为地球的n倍，下列关于行星开普坦－B说法中正确的是(　　)

A.重力加速度为地球的倍

B.第一宇宙速度为地球的倍

C.赤道上物体的向心加速度为地球的倍

D.同步卫星的轨道半径为地球的倍

答案　C

解析　由m0g＝G，可得g＝，所以该行星表面的重力加速度为地球的倍，故A错误；由G＝m0，可得v＝，所以该行星的第一宇宙速度为地球的倍，故B错误；由a＝Rω2＝可知，该行星赤道上物体的向心加速度为地球的倍，故C正确；由G＝m0r，可得r＝，该行星同步卫星的轨道半径为地球的倍，故D错误。

13.(2021·山东省实验中学模拟)我国相继成功发射的“实践卫星二十号”和“通信技术试验卫星五号”都属于地球静止轨道卫星，它们均绕地球做匀速圆周运动。则两颗卫星在轨运行的(　　)

A.线速度等于第一宇宙速度

B.动能一定相等

C.向心力大小一定相等

D.向心加速度大小一定相等

答案　D

解析　由于两颗卫星属于地球静止轨道卫星，其轨道半径一定大于地球半径，由公式G＝m得v＝，由于第一宇宙速度即为半径为地球半径的卫星的线速度，则这两颗卫星在轨运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；由于两颗卫星的质量关系未知，则无法比较两颗卫星的动能及向心力的大小，故B、C错误；由于两颗卫星属于地球静止轨道卫星，则两颗卫星的轨道半径一定相等，由公式G＝ma，得a＝，则加速度大小一定相等，故D正确。

14.(2021·福建卷，13)一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96 m/s减小到0，历时80 s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7 500 N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取10 m/s2，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：

(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；

(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。

答案　(1)1.2 m/s2　3 840 m　(2)1 875 kg

解析　(1)设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有

v2＝v1－at①

代入题给数据解得

a＝1.2 m/s2②

设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有

s＝v1t－at2③

代入题给数据解得

s＝3 840 m④

(2)设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M火、r火、g火，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为M地、r地、g地。由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有

＝mg火⑤

＝mg地⑥

式中G为引力常量，设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为mmax，由力的平衡条件有

F＝mmaxg火⑦

联立⑤⑥⑦式并代入题给数据解得

mmax＝1 875 kg⑧

在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为1 875 kg。