2022届天津市第四中学高三下学期线上检测数学试题含解析

2022届天津市第四中学高三下学期线上检测数学试题

一、单选题

1．已知集合A={x∈N|0<x<4}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（       ）

A．[0，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{0，1，2}

【答案】C

【分析】分别写出集合A，B，根据交集定义写出交集.

【详解】解：∵A={1，2，3}，B={x|0≤x≤2}，

∴A∩B={1，2}.

故选：C.

2．函数的部分图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且当时，有，利用排除法分析可得答案.

【详解】解：根据题意，对于函数，

有，即函数为奇函数，排除A、B；

当时，有，排除D；

故选：C.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3．设，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】由，得，解得，

由，得，得，

因为当时，一定成立，

而当时，不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在的学生人数为25，则的值为（       ）

A．40 B．50 C．60 D．70

【答案】B

【解析】分析处理频率分布直方图中的数据求解即可.

【详解】解：依题意，得，

解得，

故选：B．

【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.

5．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由指数幂运算和对数恒等式得，再结合和的单调性比较大小即可.

【详解】

由于函数在上单调递增，所以，

由于函数在上单调递减，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.本题解题的关键在于利用对数恒等式和指数幂运算得，再借助函数和以及中间值比较大小.

6．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的体积和它们的比值.

【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，

球的大圆是该等边三角形的内切圆，记球的体积为，圆锥的体积为

所以，，

，

所以球与圆锥的体积之比为

故选：B

7．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）

A．函数在上单调递增

B．函数为偶函数

C．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

D．若，则的最小值为

【答案】D

【分析】根据关于直线对称及，解得，所以，对于A，，所以，即可判断A正误；对于B，，即可判断B正误；对于C，可得平移后的，即可判断C正误；对于D，因为，，结合题意，以及的周期，可得的最小值为半个周期，即可判断正误；

【详解】由题意关于对称，所以，

又，所以，所以

对于A，，所以，所以函数在上不单调，故A错误；

对于B，，为奇函数，故B错误；

对于C，的图像向右平移个单位长度得到函数，故C错误；

对于D，因为，，结合题意，所以的最小值为半个周期，又，，所以的最小值为，故D正确.

故选：D.

8．在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出的坐标后利用垂直关系可得的关系，从而可求离心率.

【详解】由双曲线的对称性，不妨设在轴的上方，

因为过且垂直于轴，故，

所以直线，整理得到，故.

因为，故，整理得到，

所以即，故.

故选：B.

9．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】显然是函数的零点，时，由得，然后作出函数的图象，转化为与有4个交点，结合函数图像可求．

【详解】显然是函数的零点，

时，由得，

其大致图像如图所示，，（2），（3），

结合图像可得，当或时，与有4个交点，即方程有5个不等实根．

故选：A．

二、填空题

10．设复数满足，的实部与虚部互为相反数，则___________.

【答案】或0

【分析】设，然后根据条件求出，然后可得答案.

【详解】设，

因为复数满足，的实部与虚部互为相反数，

所以，解得或

所以或

所以或0

故答案为：或0

11．在的展开式中，含x项的系数为_________.

【答案】

【分析】先求出展开式的通项公式，求出其和 的系数，相减可得答案

【详解】展开式的通项公式为，

所以展开式中的系数为，的系数为，

因为展开式为，

所以的展开式中，含x项的系数为.

故答案为：

12．若，，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：8

13．已知圆截直线所得弦的长度为6，则实数的值为___________.

【答案】－9

【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，从而可得参数值．

【详解】圆标准方程是，显然，

圆心为，圆心到已知直线的距离为，

所以，解得，

故答案为：－9．

14．如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.

【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，

设，则，，

在中，，，

所以设，，，即.

由题意可知为的中点，为的中点，

所以，，

所以，，

所以

（其中，为锐角），

所以的最大值为，此时，即，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题.

15．已知函数，.

（1）的最小正周期为___________；

（2）的单调递增区间为___________；

（3）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的值为___________.

【答案】     ；     ；     .

【分析】将化为，然后可得周期和增区间，由可得，然后由余弦定理可得的值.

【详解】

所以，

由可得

所以的单调递增区间为，

因为，所以，

因为，所以，所以，所以

所以由余弦定理可得

故答案为：；；

16．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点.

（1）直线与平面所成角的正切值为___________；

（2）直线到平面的距离为___________；

（3）已知点在棱上，平面与平面所成二面角为60°则线段的长为___________.

【答案】              

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，二面角的余弦值以及点到平面的距离；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，．

，，，， ．

设平面的法向量为，则，即

令，则．

所以．

设直线与平面所成角为，

所以直线与平面所成角的正弦值为，即，所以，所以，所以直线与平面所成角的正切值．

因为，平面平面，所以平面，所以到平面的距离，即点到平面的距离，所以，故直线到平面的距离为；

假设在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，设，．

则，设平面的法向量为，

则，即，

取，则，

又平面的法向量为．

所以，

解得，

故在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为，点的坐标为，即．

故答案为：；；；

17．已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，.

（1）则___________；___________；

（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和___________；

（3）设数列的通项公式为：，，则___________.

【答案】                   

【分析】（1）根据已知条件作差得到的值，代回的关系式可得的值，即可得到等比数列的通项公式；由题可判断数列是等差数列，根据两个等式求出、的值，即可求解；

（2）由（1）可知数列为由开始的连续的自然数，则需找到数列的前项，可先用与比较大小，判断出有项，有项，再利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解；

（3）由题，所求和的项数为偶数，则可先求得，再把连续2项作为一组，利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）由题，，，两式作差可得，即，

因为，则，又，解得，

所以，解得，所以.

因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为，

由于，可得，，所以，

所以；

（2）当时，，当时，，

所以数列的前项中，有项，有项，

所以；

（3）由（1），，，

设，即，

则，

则，

则，

两式作差可得

即，

故.

18．设椭圆的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，是等边三角形.

（1）椭圆的离心率为___________；

（2）设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.

（i）___________；

（ii）已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，则椭圆的方程___________.

【答案】              

【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，设椭圆方程为，联立方程组，求出点，，即可求出点的坐标，根据弦长公式，结合．即可求出的值，根据四边形为平行四边形，可得，即可求出椭圆方程．

【详解】解：由题意可知，，

，

．

．

，

设椭圆方程为，

联立得解得：，则，

为中点，

，

所以，

则所在的直线方程为，

令，

解得，

，

，

解得或（舍．

直线的斜率为1．

，

设，，

四边形为平行四边形，

，

，，，

即，

又点，在椭圆上，，

解得，

，

该椭圆方程为：．

故答案为：；；

三、双空题

19．已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球或黄球的概率为，摸出红球或蓝球的概率为．则从中随机摸取一个球，摸出红球的概率为________；若每次随机摸取一个球，有放回地摸取两次，设表示两次摸到红球的总数，则________．

【答案】     0.4     0.8

【分析】根据题干列出方程组，求出摸出红球的概率，再利用二项分布求出期望值.

【详解】设红球个数为x，黄球个数为y，蓝球有z个，则，两式相加得：，所以，即摸出红球的概率为0.4；由题意知：，则.

故答案为：，

四、解答题

20．设，曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）若，恒成立，求的取值范围；

（3）求证：.

【答案】(1)0；(2)；(3)证明见解析.

【分析】（I）由题得解得；（II）由得，构造函数，本题转化成，求导得，对进行分类讨论，得；（III）令，是，对进行赋值对应相加得，即.

【详解】（Ⅰ）因为，

由题设，所以，所以．

（Ⅱ），恒成立，即 ，

设，即，

而，

①若，，，这与题设矛盾；

②若，方程根的判别式，

当，即时，

所以，即不等式成立．

当时，方程其根，；当时，，单调递增，则，与题设矛盾．

综上，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，时，成立，

不妨令，所以 ，

即

∴，

累加得：，即．

【解析】导数的几何意义、导数与函数的单调性、构造法.