山东省威海市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019-2020学年高一下学期期末考试

数学试题

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 

回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求．

1.时间经过5小时，时针转过的弧度数为

A.        B.        C.      D.

2.已知，则

A.        B.        C.        D.

3.已知向量，且，则

A.           B.           C.         D.

4.下列选项中描述的空间角类型与其它三项不同的是

A.短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于的角度

B.为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持的仰角

C.市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在，超过这个角度容易导致转轴损坏

D.春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为

5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则的值为

A.        B.          C.        D.

6.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为

A.立方丈     B.立方丈    C.立方丈     D.立方丈

7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是

A.若，则           B.若，则

C.若，则            D.若，则

8.如图所示，在平面四边形中，，

，，，现将

沿边折起，并连接，当三棱锥

的体积最大时，其外接球的表面积为

A.         B.           C.          D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.下列选项中，与的值相等的是

  A.                       B.

C.                     D.

10.已知函数，则

A.的最大值为       

B.的最小正周期为

C.是偶函数

D.将图像上所有点向左平移个单位，得到的图像

11.已知非零平面向量，则

A.存在唯一的实数对，使        B.若，则

C.若，则      D.若，则

12.已知正四棱柱的底面边长为，，则

A.平面           B.异面直线与所成角的余弦值为

C.平面          D.点到平面的距离为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知单位向量，若，则与的夹角为__________.

14.设分别为三个内角的对边，已知，

，则角__________.

15.函数（）在一个周期内的图像

如图所示，则其解析式为__________.

16.正方体的棱长为，则平面与平面所成角为_______；设为的中点，过点的平面截该正方体所得截面的面积为__________.

（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）当时，求的取值范围.

18.（本小题满分12分）

设分别为三个内角的对边，若.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，的面积为，求的周长.

19.（本小题满分12分）

在正三棱柱中，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离.

20.（本小题满分12分）

在中，，点在边上

且.

（Ⅰ）若，求的长；

（Ⅱ）若，求的值.

21.（本小题满分12分）

在四棱锥中，底面是边长为的菱形，

，分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，，

求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本小题满分12分）

天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.  

（Ⅰ）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？

（Ⅱ）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；

（Ⅲ）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.

高一数学参考答案

一、单项选择题： 

二、多项选择题：

三、填空题：

13. ； 14.或 ；15.；16.， （ 第一空2分，第二空3分）     

三、解答题：

17.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）

                                             ---------------3分 由，解得

所以函数单调递增区间为，            ---------------5分

（Ⅱ）设，∵，

∴，                                                  ---------------7分

∴，                                                ---------------9分

∴，                                   

所以当时，函数的取值范围为         ---------------10分

 18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由及正弦定理可得

，                                ---------------2分

由带入上式，              ------------4分

整理得 ， 因为                    

所以，                                                 ---------------5分

因为，所以角.                                     ---------------6分                                                   

（Ⅱ）∵的面积为，∴，得，         ---------------7分

由，可得，                    ---------------9分

即，

，解得，                                 ---------------11分

所以求的周长为.                                           -------------12分                           

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵正三棱柱，∴平面,

∴,                                                    ---------------1分

∵为的中点，

∴,                                                     ---------------2分

又,∴平面，                           ---------------4分

∵平面，∴平面平面；                  ---------------6分

（Ⅱ）过点作，为垂足，则，

∵平面平面 ，

∴平面 ， ---------------8分                                    

∴ ， --------------9分

设点到平面的距离为，

∵,∴,                       ---------------10分

由（Ⅰ）可知为直角三角形 ，可求得，

∴,

可得,∴点到平面的距离.                     ---------------12分

20（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设 ，

则，,                       -----------1分

所以，                   ------------3分

，                     -------------5分

（Ⅱ）                ------------6分

同理可得，,          ------------7分

，                                         ------------10分

∴，，                  ------------11分

同除以可得，.                                     -----------12分

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取得中点，连接，,                      

∵为的中点，∴，                             -------------1分

∵为的中点且四边形为菱形,∴,           -------------2分

∴, ∴四边形为平行四边形，                     -------------3分

∴，

又平面，平面，

∴平面.                              -------------4分

（Ⅱ）连接交于点，

∵四边形为菱形，

∴,                                   -------------5分

∵，

∴,                                              -------------6分

又为平面内的两条相交直线，

∴平面，                                             -------------7分

又平面,

∴ .                                                 ----------------8分

（Ⅲ）过作，为垂足，连接，

由（Ⅱ）可知平面，

所以平面平面,                                   ----------------9分

而平面平面，

所以平面，                                       

因此直线在平面的射影为，

即为直线与平面所成角，                    ----------------10分

∵四边形为菱形边长为，，

∴,,

由题意可知为直角三角形，易得，

又，∴，∴，              

由平面可知为直角三角形，

∴，                                ----------------11分

在中，,

所以直线与平面所成角的正弦值为.                ----------------12分

22.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，

摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，

由题意可得，，                             ----------------3分          

当时， ，

所以游客分钟后距离地面的高度是米 .                          ---------------4分

（Ⅱ） 由题意可知，，                       -----------------5分

在中，，         ----------------7分

 （Ⅲ）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，

应满足，                        

化简得，                                         ----------------9分

因为，所以     

所以 ，解得，                        -----------------11分

所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.                       ---------------12分