2021年湖北省黄冈市中考数学试卷-教师用卷

2021年湖北省黄冈市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

【答案】

D

【解析】解：的相反数是，
故选：。
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案。
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数。
 

2. 年月日时分，我国首个火星探测器“天问一号”经过公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

【答案】

C

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆

【答案】

A

【解析】解：正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

【答案】

B

【解析】解：、不是同类项，因此不能用加法进行合并，故A项不符合题意，
根据同底数幂的除法运算法则，故B项符合题意，
根据单项式乘单项式的运算法则可得，故C项不符合题意，
根据完全平方公式展开，故D项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开即可正确求解．
本题主要考查同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开，熟练运用公式是解决此题的关键．
 

5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是

A.
B.
C.
D.

【答案】

C

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
俯视图是从上面看到的图形，据此判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
 

6. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型科普，文学，体育，其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是

A. 样本容量为
B. 类型所对应的扇形的圆心角为
C. 类型所占百分比为
D. 类型的人数为人

【答案】

C

【解析】解：人，
样本容量为人，
故A正确，
，
类型所对应的扇形的圆心角为，
故B正确，
，
类型所占百分比为，
故C错误，
人，
类型的人数为人，
故D正确，
说法错误的是，
故选：．
根据类人占可计算样本容量，根据占可计算其所对扇形的圆心角度数，根据类人总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去，，三类人数即可得类人数．
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
 

7. 如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

【答案】

A

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

8. 如图，为矩形的对角线，已知，，点沿折线以每秒个单位长度的速度运动运动到点停止，过点作于点，则的面积与点运动的路程间的函数图象大致是

A.  B.
C.  D.

【答案】

D

【解析】解：，
，
，
∽，
，
，，
，
当在上时，即当时，
，
，
，
当在上运动时，即当时，
，
，
，
综上，当时，函数为二次函数图象，且随增大而增大，当时，函数为一次函数图象，且随增大而减小，
故选：．
根据点运动路径分段写出的面积与点运动的路程间的函数关系式即可．
本题主要考查一次函数和二次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

10. 正五边形的一个内角的度数是______度．

【答案】

【解析】解：，，所以正五边形的一个内角的度数是度．
因为边形的内角和是，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正边形的内角和再除以即可得到答案．
 

11. 东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：，，，，，，则这组数据的中位数为______ ．

【答案】

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______ 写出一个即可

【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
取，
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，在的范围内选一个即可．
本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

13. 在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则与的数量关系是______ ．

【答案】

【解析】解：，，
，
由作图可知平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，直角三角形角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
 

14. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则建筑物的高约为______ 结果保留小数点后一位参考数据：，，
    
    
     

【答案】

【解析】解：在中，，
则，
设，则，
在中，，
则，
，
，
故建筑物的高约为，
故答案为：．
根据正切的定义列出关于的方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数设，，得，记，，，，则 ______ ．

【答案】

【解析】解：，，，，
，
故答案为．
利用分式的加减法则分别可求，，，即可求解．
本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．
 

16. 如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接下列结论：；；；的最小值是，其中正确结论的序号是______ ．

【答案】

【解析】解：正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，

，
，故正确；
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，故正确，
设，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，故错误；
≌，
，
，
垂直平分，
，
当时，有最小值，
过点作，
则的长度为的最小值，
，
，故正确．
故答案为：．
利用正方形的性质证明≌，得到进而可证；
利用正方形的性质证明≌，得到，证明，进而可证；
利用∽，求得，的长度，然后求出，进而可证；
易证垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求．
本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形等知识，能够合理选择正方形的性质找到相似与全等的条件是解题的关键．
 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：．

【答案】

解：原式

．

【解析】根据乘法的定义、零指数幂、负整数指数幂以及，然后进行乘法运算和去绝对值运算，再合并即可．
本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
 

18. 如图，在和中，，．
    求证：∽；
    若：：，，求的长．

【答案】

证明：．
，
，
又，
∽；
∽；
，
又，
．

【解析】由两角相等的两个三角形相似可判断∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与判定，证明∽是本题的关键．
 

19. 年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
    黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是______ ；
    用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．

【答案】

列表如下：

由表可知共有种等可能结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有种结果，
所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为．

【解析】解：黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是，
故答案为：；
见答案

直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若，求的取值范围．

【答案】

解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
一次函数解析式为；
直线交轴于点，
点，
，
，
，
．

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
先求出点坐标，由面积关系的可求解．
 

21. 如图，在中，，与，分别相切于点，，平分，连接．
    求证：是的切线；
    若，的半径是，求图中阴影部分的面积．

【答案】

证明：连接，，过点作于点，

是的平分线，
，是圆的一条半径，
是的切线；
、与圆分别相切于点、点，
，，
四边形是正方形，
，
，
又，
优弧所对的

．
图中阴影部分的面积是：．

【解析】本题考察了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．
有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
将不规则图形转化为规则图形间的换算．
 

22. 年是中国共产党建党周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车每种型号至少一辆送名学生和名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．
    甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：

共需租______ 辆大客车；
最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？

【答案】

设租用辆甲种型号大客车，则租用辆乙种型号大客车，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以取的最大值为．
答：最多可以租用辆甲种型号大客车．
，且为正整数，
，或
有种租车方案，
方案：租用辆甲种型号大客车，辆乙种型号大客车；
方案：租用辆甲种型号大客车，辆乙种型号大客车；
方案：租用辆甲种型号大客车，辆乙种型号大客车．
选择方案所需租车费用为元，
选择方案所需租车费用为元
选择方案所需租车费用为元
，
租车方案最节省钱．

【解析】解：人，辆人，辆，且共有名教师，每辆汽车上至少要有一名教师，
共需租辆大客车．
故答案为：．
见答案
见答案
利用租用乙种型号大客车的数量师生人数每辆车的载客量，可求出租用乙种型号大客车的数量，结合共有名教师且每辆汽车上至少要有一名教师，即可得出租车数量；
设租用辆甲种型号大客车，则租用辆乙种型号大客车，根据可乘坐人数每辆车的载客量租车数量，结合人都有座，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；
由中的取值范围结合为正整数，即可得出各租车方案，利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出选择两个方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：利用租用乙种型号大客车的数量师生人数每辆车的载客量，求出租用乙种型号大客车的数量；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；利用总租金每辆车的租金租车数量，分别求出选择各方案所需租车费用．
 

23. 红星公司销售一种成本为元件产品，若月销售单价不高于元件，一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为单位：元件，月销售量为单位：万件．
    直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
    为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值．

【答案】

解：由题知，当时，，
当时，，
整理得；
与之间的函数关系式为：

设月销售利润为，由题知，
当时，时利润最大，
此时万元；
当时，
，
当时，有最大值为，
即当月销售单价是元时，月销售利润最大，最大利润是万元；
由知，当月销售单价是元时，月销售利润最大，
即，
解得，
的值为．

【解析】根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
根据中的函数和月销售单价不高于元件的取值范围，确定值即可．
本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
 

24. 已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点是轴上的动点．
    求抛物线的解析式；
    如图，若，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点过点作于点，当为何值时，≌；
    如图，将直线绕点顺时针旋转，它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．
    ______ ；
    当点关于直线的对称点落在抛物线上时，求点的坐标．

【答案】

解：设抛物线的表达式为，
则，
故，解得，
故抛物线的表达式为；
由抛物线的表达式知，点，
故，则，
则，则，
≌，
故，
则，
故点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得舍去或，
故；
；
设的中点为，
由、的坐标得，直线的表达式为，
则将它向上平移个单位长度，得到直线，
此时函数的表达式为，
则，
故答案为；
设线段交于点，则是的垂直平分线，

，则，
设直线交轴于点，则点，
直线的过点，
故直线的表达式为，
联立并解得，
故点的坐标为，
点是的中点，
由中点坐标公式得：点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
故点的坐标为或．

【解析】用待定系数法即可求解；
由≌，得到，求出的坐标为，即可求解；
由函数的平移得到函数的表达式为，即可求解；
求出直线的表达式为，得到点的坐标为，由点是的中点，求出点的坐标为，即可求解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．