安徽省黄山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷

2019-2020学年度第二学期期末质量检测

高一数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题意的.）

1. 某学校有小学生125人，初中生280人，高中生人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为的样本，采用较恰当的方法是

A. 抽签法           B. 随机数法          C. 系统抽样         D. 分层抽样

2. 数列的一个通项公式是

A.  B.  C.            D.

3. 已知，则

A． B． C． D．

4. 已知，则下列不等式中成立的是

A． B． C． D．

5. 将二进位制数化为三进位制数为

A.           B.          C.          D.

6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺

A． B． C． D．

7. 若整数满足约束条件，目标函数取得的最大值为

A． B． C． D．

8. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为

A．1      B． 

C．     D．

9. 在等差数列中，，数列

是等比数列，且，则

A．1    B．2   C．4  D．8

10.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展

网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了

名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直

方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，

设最大频率为，在到之间的数据个数为，则的

值分别为

A．   B．   C．   D．

11.在上定义运算：，若不等式的解集为，则实数的取值范围是

A．   B．  C．   D．

12.在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为

A.     B.    C.     D.

 第Ⅱ卷（非选择题  满分分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．已知函数，用秦九韶算法计算         ．

14．已知是第二象限角，且， ，则         ．

15. 记等差数列的前项和为，满足,则的最小

值为         .

16．已知二次函数，满足,对任意的都有恒

成立，则的取值范围是         .

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知数列的前项和为，当时，数列中，.直线经过点.

（1）求数列、的通项公式和；

（2）设，求数列的前项和，并求的最大整数.

18.（本小题满分12分）

已知向量，，定义函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）在中，角为锐角，且，，求边的长．

19.（本小题满分12分）

在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国“抗击新型冠状肺炎”的战役取得了阶段性胜利，现在全国人民积极加入到复工复产的经济建设中.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪元，每派送一单奖励元；乙方案：底薪元，每日前单没有奖励，超过单的部分每单奖励元.

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；

（2）根据该公司所有派送员天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：

回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.

（参考数据：，）

20.（本小题满分12分） 

几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山的美，清幽秀丽的自然风光，文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名嗓江南的旅游热点.如图，游客从黄山风景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从乘观光车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.假设观光车匀速直线运行的速度为米/分

钟，山路长为米，经测量，，.

（1）求观光车路线的长；

（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短.

21.（本小题满分12分）

已知函数，且的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.

22.（本小题满分12分）

在数列中，，，，其中．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．

（3）已知当且时，，其中,求满足等式的所有的值．

2019-2020学年度第二学期期末质量检测

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 4485          14．         15．        16．

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（1）

，即，    ………………………………………………………… 3分

  …………………… 6分

（2）

   ………10分

∵即，即

当时，；当时，；

故满足的最大正整数为4.   …………………………………………………………………………12分

18．（1），

当时，的值域为   ……………………………………………6分

（2）由得，，

，，，则，

在中，由正弦定理得，. .………………………12分

19．（1）甲：

乙：   ……………………………………………………………………………4分

（2）①甲方案中 ，

乙方案中 ，

         ……………10分

②、答案一： 

由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：

由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.   ………………………………………………………………………………………………………12分

20. （1）在中，因为，

所以，

从而=

由正弦定理，得，

所以观光车路线的长为    …………………………………………………………………………6分

（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时甲行走了，乙距离处，由余弦定理得

因，即，故当时，甲，乙两游客的距离最短；……… 12分

21. 解：（1）∵的解集为，即的根为，2，

∴，，即，；∴；  ……………………3分

（2），即，化简得：，

∴当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，   ……………………………………7分

（3）∵时，根据二次函数的图像性质，有，则有，∴，

∵对于任意的都有，

即求，转化为，

而，，

此时可得，∴M的最小值为.                ……………………………………………12分

22.（1）证明：

数列为等差数列     …………………………………………………………………………………………3分

（2）解：假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第，，（）项，由（1）得， ，，

又为偶数，为奇数．故不存在这样的三项，满足条件． ……………………7分

（3）由（2）得等式，可化为

即，

当时，，

，，，，

当时，

当时，经验算时等号成立

满足等式的所以.   …………………12分