2020-2021学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校三校联考高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校三校联考高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．

1．（5分）（2021春•广东期末）为虚数单位，若复数满足，则　　

A．0 B．1 C． D．2

2．（5分）（2021春•广东期末）下列结论中，错误的是　　

A．“”是“”的充分不必要条件 

B．已知命题，，则， 

C．“”是“”的充分不必要条件 

D．命题：“，”的否定是“，”

3．（5分）（2021•潍坊三模）如图，在平行四边形中，，若，则　　

A． B．1 C． D．

4．（5分）（2021春•福建期末）若某同学连续3次考试的名次次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是　　

A．甲同学：平均数为2，方差小于1 

B．乙同学：平均数为2，众数为1 

C．丙同学：中位数为2，众数为2 

D．丁同学：众数为2，方差大于1

5．（5分）（2021•毕节市模拟）如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021•千阳县校级模拟）化简所得的结果是　　

A． B． C． D．2

7．（5分）（2021•新疆模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则的零点的个数为　　

A．6 B．12 C．8 D．14

8．（5分）（2021秋•新余期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、多选题：本大题4小题，每小题5分，共20分，选对得5，漏选得2分，错选得0分．

9．（5分）（2021春•广东期末）下列命题中正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

10．（5分）（2020•全国模拟）正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直 

B．直线与平面平行 

C．平面截正方体所得的截面面积为 

D．点与点到平面的距离相等

11．（5分）（2021春•广东期末）将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是　　

A． 

B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 

C．在，上的值域为， 

D．的图象关于点，对称

12．（5分）（2021春•广东期末）设函数，，则下列命题中正确的有　　

A．若，则 

B．方程可能有三个实数根 

C．当时，函数在是单调增函数 

D．当时，函数在上有最小值

三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2017•杨浦区二模）小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为　 　．

14．（5分）（2021春•广东期末）如图所示，在，，，，，则的长是 　　．

15．（5分）（2021春•广东期末）在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．

16．（5分）（2021•河南模拟）已知函数，若的图象上有且仅有2个不同的点关于直线的对称点在直线上，则实数的取值是 　　．

四、解答题：本大题6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。

17．（10分）（2014•颍州区校级一模）在中，、为锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．

（1）求的值；

（2）若，求、、的值．

18．（12分）（2021春•广东期末）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数，，，且在每天凌晨2时达到最低温度，在下午14时达到最高温度，从2时到14时为半个周期．

（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；

（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为？

注：一昼夜指从凌晨0时（含到午夜24时（不含）．

19．（12分）（2021春•广东期末）如图，在四棱锥中，正方形所在的平面与正三角形所在的平面垂直，点，分别为，的中点，点在棱上．

（1）证明：平面；

（2）若，点到的距离为，求的长．

20．（12分）（2021春•广东期末）某游乐园为了吸引游客，推出了，两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元．年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，年票不需交开卡工本费．年票每次进园门票为原价的9.5折，年票需交开卡工本费元．已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次．该市民多年来年进园记录如表：

（1）估计该市民年进园次数的众数；

（2）若该市民使用年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；

（3）从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择年票比选择年票更优惠，求的最小值．

21．（12分）（2021春•广东期末）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，且．将沿折起，使得点到点的位置，且，如图2．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

22．（12分）（2021春•广东期末）已知函数，（其中在上是减函数，点，，，，，从左到右依次是函数图象上三点，且．

（Ⅰ）求证：是钝角三角形；

（Ⅱ）试问，能否是等腰三角形？若能，求面积的最大值；若不能，请说明理由．

2020-2021学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校三校联考高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．

1．（5分）（2021春•广东期末）为虚数单位，若复数满足，则　　

A．0 B．1 C． D．2

【解答】解：因为，

所以，

故．

故选：．

2．（5分）（2021春•广东期末）下列结论中，错误的是　　

A．“”是“”的充分不必要条件 

B．已知命题，，则， 

C．“”是“”的充分不必要条件 

D．命题：“，”的否定是“，”

【解答】解：对于：把代入成立，所以“ “是“”的充分条件，

的解为或，所以“ “是“”的不必要条件，

故“ “是“”的充分不必要条件，故正确；

对于：命题，，则，，故正确；

对于：不等式“”的解集为或，

“”是“”的必要不充分条件，故不正确；

对于：命题：“，”的否定是“，”，故正确；

故选：．

3．（5分）（2021•潍坊三模）如图，在平行四边形中，，若，则　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：因为，

所以，

若，

则．

故选：．

4．（5分）（2021春•福建期末）若某同学连续3次考试的名次次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是　　

A．甲同学：平均数为2，方差小于1 

B．乙同学：平均数为2，众数为1 

C．丙同学：中位数为2，众数为2 

D．丁同学：众数为2，方差大于1

【解答】解：记甲同学三次考试名次为，，，

则，，

若甲同学三次考试名次中低于第3名的，不妨设，

则，与相矛盾，故正确，

若三次考试名次为1，1，4，满足平均数为2，众数为1，故错，

若三次考试名次为2，2，4，满足中位数为2，众数为2，故错，

若三次考试名次为2，2，4，满足众数为2，方差大于1，故错，

故选：．

5．（5分）（2021•毕节市模拟）如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，0，，，0，，，，，

，，，，，，

设异面直线与所成角为，

则异面直线与所成角的余弦值为：

．

故选：．

6．（5分）（2021•千阳县校级模拟）化简所得的结果是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：．

故选：．

7．（5分）（2021•新疆模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，设函数，则的零点的个数为　　

A．6 B．12 C．8 D．14

【解答】解：由题意，的图象关于对称，

函数的零点即为的根，

又是定义在上的偶函数，，

，可得的周期为2，

函数与的图象都关于轴对称，

作出两函数在上的部分图象如图：

由图可知，两函数在上有6个交点，根据对称性可得，

的零点的个数为12．

故选：．

8．（5分）（2021秋•新余期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正实数，满足，可得，

令，，可得，

所求，

即，

即，当且仅当时取等号，

所以答案为，

故选：．

二、多选题：本大题4小题，每小题5分，共20分，选对得5，漏选得2分，错选得0分．

9．（5分）（2021春•广东期末）下列命题中正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：对于：根据指数函数的图象，如图所示

，；故错误

对于：根据对数函数的图象，如图所示；

，；故正确；

对于：根据函数的图象，如图所示：

，，故错误．

对于：根据函数的图象，如图所示：

，，故正确．

故选：．

10．（5分）（2020•全国模拟）正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直 

B．直线与平面平行 

C．平面截正方体所得的截面面积为 

D．点与点到平面的距离相等

【解答】解：取中点，则为在平面上的射影，

与不垂直，与不垂直，故错；

取中点，连接，，可得平面平面，故正确；

把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故正确；

假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，

连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错．

故选：．

11．（5分）（2021春•广东期末）将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则下列说法正确的是　　

A． 

B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 

C．在，上的值域为， 

D．的图象关于点，对称

【解答】解：，

将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

故，故错误；

由的图象向右平移个单位长度可得的图象，

故正确；

在，上，，，，，，，故正确；

令，求得，故错误，

故选：．

12．（5分）（2021春•广东期末）设函数，，则下列命题中正确的有　　

A．若，则 

B．方程可能有三个实数根 

C．当时，函数在是单调增函数 

D．当时，函数在上有最小值

【解答】解：对于，因为，，故正确；

对于，令，，则，解得，2，，故正确；

对于，当时，函数，由解析式，画出图像，可知函数在上是单调增函数，故正确；

对于，当时，函数，由解析式，画出图像．可得值域是，故函数在上没有最值，故错误．

故选：．

三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2017•杨浦区二模）小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为　　．

【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，

基本事件总数，

小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数：

，

小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：

．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•广东期末）如图所示，在，，，，，则的长是 　　．

【解答】解：在中，由正弦定理知，，

，

，

，，

在中，由余弦定理知，，

．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•广东期末）在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　．

【解答】解：如图，

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，

，

同理可证，

在中，，所以，

取中点为，连接，，

由直角三角形的性质可知，，，

又，即到，，，四点的距离相等，

为三棱锥外接球的球心，

，

球的体积，

故答案为：．

16．（5分）（2021•河南模拟）已知函数，若的图象上有且仅有2个不同的点关于直线的对称点在直线上，则实数的取值是 　2　．

【解答】解：直线关于直线对称的直线的方程为，

对应的函数为，当时，，由，可得不符合题意；

当时，令，可得，此时，令，

当时，递增，且；当时，先递增，后递减，可得，，

结合图像，直线与的图像有两个交点，等价为，即．

故答案为：2．

四、解答题：本大题6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。

17．（10分）（2014•颍州区校级一模）在中，、为锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．

（1）求的值；

（2）若，求、、的值．

【解答】解：（1）中，、为锐角，

，

又，，

，，

，

．

（2），，

由正弦定理得：，

，又，

，．

又，

．

．

综上所述，，，．

18．（12分）（2021春•广东期末）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数，，，且在每天凌晨2时达到最低温度，在下午14时达到最高温度，从2时到14时为半个周期．

（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；

（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为？

注：一昼夜指从凌晨0时（含到午夜24时（不含）．

【解答】解：（1）由题意可知，，解得，，

因为从2时到14时为半个周期，

所以，则，

解得，

由，

又，

所以，

故；

（2）由，可得，

则或，

因为，

解得或，

所以在每天的6时或22时的气温为．

19．（12分）（2021春•广东期末）如图，在四棱锥中，正方形所在的平面与正三角形所在的平面垂直，点，分别为，的中点，点在棱上．

（1）证明：平面；

（2）若，点到的距离为，求的长．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，，

为棱的中点，

，且．

又为棱的中点，四边形为正方形，

，且．

从而，且，于是四边形为平行四边形，

则．

平面，平面，

平面．

（2）解：过作于，

平面平面，平面，

过作于，连接，则．

，，，

，过作于，易知，则，

，

．

20．（12分）（2021春•广东期末）某游乐园为了吸引游客，推出了，两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元．年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，年票不需交开卡工本费．年票每次进园门票为原价的9.5折，年票需交开卡工本费元．已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次．该市民多年来年进园记录如表：

（1）估计该市民年进园次数的众数；

（2）若该市民使用年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；

（3）从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择年票比选择年票更优惠，求的最小值．

【解答】解：（1）由频率分布表知，该市民年进园次数的频率最大是0.40，对应的次数是众数，为12；

（2）该市民使用年票时，在进园门票上年花费的平均数为：

；

（3）使用年票时该市民在进园门票上年花费的平均数为

，

所以，解得，的最小值是23.25，

若选择年票比选择年票更优惠，的最小值是23.25．

21．（12分）（2021春•广东期末）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，且．将沿折起，使得点到点的位置，且，如图2．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，取的中点，连接，则，故，

取的中点，连接，则，故，

连接，因为，为的中点，所以，

又，，平面，

所以平面，又平面，

则，

在平面内，与相交，因此平面，

又平面，

故平面平面；

（2）解：由（1）可知，平面，连接，

则，，故，

连接，则，则，

以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

故，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，

故，

所以，

故二面角的正弦值为．

22．（12分）（2021春•广东期末）已知函数，（其中在上是减函数，点，，，，，从左到右依次是函数图象上三点，且．

（Ⅰ）求证：是钝角三角形；

（Ⅱ）试问，能否是等腰三角形？若能，求面积的最大值；若不能，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：因为，

所以恒成立，

所以函数在上是单调减函数．

因为，，，，，且，

所以，，

可得，，，，，三点不共线

所以，，，，

所以，

因为，，，，

所以，所以，，

所以是钝角三角形．

（Ⅱ）解：假设为等腰三角形，则只能是，

即：，

因为，所以

即

①，

而②，

由于，故②式等号不成立，这与①式矛盾．

所以不可能为等腰三角形．

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