14解答题（较难题）2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编

这是一份14解答题（较难题）2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编，共30页。试卷主要包含了阅读并填空，已知等内容，欢迎下载使用。

14解答题（较难题）
一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．

（1）△ABC的面积为 　 　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　 　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：

形内格点数m
边界格点数n
格点多边形面积S
△ABC
6
11

四边形ACDE
8
11

五边形ABCDE
20
8

根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　 　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　 　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
二．全等三角形的判定与性质（共5小题）
2．（2019春•浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以　 　（等边对等角）．
因为　 　，
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
在△ABE与△ACD中，
　 　，
∠AED＝∠ADE，
AB＝AC
所以△ABE≌△ACD（　 　）
所以　 　（全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
即BD＝CE．

3．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB　 　，
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠　 　＝∠　 　．

在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC　 　．
因此∠B＝∠C．

4．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

5．（2021春•静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．

6．（2021春•奉贤区期末）把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
（3）请你：
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？

三．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．

四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．

五．三角形综合题（共5小题）
9．（2021春•嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．

10．（2021春•静安区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，以BC、AC为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE．
（1）如图1，连接AD、BE，AD与BE相交于点O．
①说明AD＝BE的理由．
②∠AOB＝　 　°．（直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交BC于点F，DF与EF相等吗？为什么？


11．（2021春•静安区期末）如图，在直角坐标平面内有点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下AB的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出AB的长，以此向古代先贤致敬；
（3）点P在y轴上，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

12．（2021春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
13．（2021春•奉贤区期末）已知△ABC、△AED均为等边三角形，点E是△ABC内的一点．
（1）如图①，说明BD＝CE的理由；
（2）如图②，当点E在线段CD上时，∠CDB＝　 　度（直接写出答案）；
（3）当△DBE为等腰直角三角形时，∠ABD＝　 　度（直接写出答案）．
六．几何变换综合题（共2小题）
14．（2021春•静安区校级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．


15．（2021春•黄浦区期末）如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠NAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MBN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由；
（2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形并写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　 　．（直接写出答案）
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　 　（直接写出答案）．


参考答案与试题解析
一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．

（1）△ABC的面积为 　10.5　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　12.5　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：

形内格点数m
边界格点数n
格点多边形面积S
△ABC
6
11

四边形ACDE
8
11

五边形ABCDE
20
8

根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　m+﹣1　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　30　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
【解答】解：（1）根据题意可知：
△ABC的底7，高为3，
所以△ABC的面积为：0.5×7×3＝10.5．
故答案为：10.5；
（2）四边形ABCD的面积为：0.5×2×3+3×2+0.5×3×1+0.5×2×2＝3+6+1.5+2＝12.5．
故答案为：12.5；
（3）根据题意可知：皮克公式为S＝m+﹣1，六边形FGHIJK的形内格点数m＝27，边界格点数n＝8，
所以六边形FGHIJK的面积为27+4﹣1＝30．
故答案为：m+﹣1，30．
二．全等三角形的判定与性质（共5小题）
2．（2019春•浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以　∠B＝∠C　（等边对等角）．
因为　AD＝AE　，
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
在△ABE与△ACD中，
　∠B＝∠C　，
∠AED＝∠ADE，
AB＝AC
所以△ABE≌△ACD（　AAS　）
所以　BE＝CD　（全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
即BD＝CE．

【解答】解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C（等边对等角）．
因为 AD＝AE，
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
在△ABE与△ACD中，

所以△ABE≌△ACD（AAS），
所以 （全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
即BD＝CE．
故答案为∠B＝∠C，AD＝AE，∠B＝∠C，AAS，BE＝CD．
3．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和　，
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠　DFB　＝∠　EDC　．

在△DFB和△EDC中，
所以△DFB≌△EDC　（SAS）　．
因此∠B＝∠C．

【解答】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（2分）
即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠DFB＝∠EDC．（2分）
，
在△DFB和△EDC中，（2分）
所以△DFB≌△EDC（SAS）．（1分）
因此∠B＝∠C．
4．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，

在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；

（2）延长BD交CE于F，

∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
5．（2021春•静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．

【解答】证明：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
6．（2021春•奉贤区期末）把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
（3）请你：
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？

【解答】解：（1）△ABD≌△ACE．（1分）
∵△ABC是直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°．（1分）
同理 AD＝AE，∠EAD＝90°．（1分）
∴∠BAC＝∠EAD．
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD．
即∠BAD＝∠CAE．（1分）
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．

（2）在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．
∴∠ADB＝∠AEC．（全等三角形对应角相等）（1分）
∵∠ACE＝∠DCF，（对顶角相等）
∠ADB+∠DCF+∠EFD＝180°，（三角形内角和180°）
∠AEC+∠ACE+∠EAC＝180°，（三角形内角和180°）（1分）
∴∠EAC＝∠EFD．（1分）
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC＝90°．
即∠EFD＝90°．
∴BD⊥EC．（垂直定义）（1分）

（3）①如图：（1分）
②BD＝EC，BD⊥EC．（2分）
③存在．（1分）

三．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK为△ACG的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
∴2（a+b）+α＝180°，
∴3α﹣2β＝180°．
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
即2（a+b）＝180°﹣α，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
故∠B＝60°．


四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．

【解答】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE

五．三角形综合题（共5小题）
9．（2021春•嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　一定成立　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠BPC＝120°，BP＝CP，
∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠PBM＝∠PCN＝90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴∠BPM＝∠CPN＝30°，
∵∠MPN＝60°，PM＝PN，
∴△PMN为等边三角形，
∴PM＝PN＝MN，
在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，
∴BM＝PM，
同理可得，CN＝PN，
∴BM+CN＝MN；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图②，延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，
由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，
∴∠PCH＝90°，
∴∠PBM＝∠PCH，
在△PBM和△PCH中，
，
∴△PBM≌△PCH（SAS），
∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，
∵∠BPM+∠CPN＝60°，
∴∠CPN+∠CPH＝60°，
∴∠MPN＝∠HPN，
在△MPN和△HPN中，
，
∴△MPN≌△HPN（SAS），
∴MN＝HN＝BM+CN，
故答案为：一定成立；
（3）解：如图③，在AC上截取CK＝BM，连接PK，
在△PBM和△PCK中，
，
∴△PBM≌△PCK（SAS），
∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，
∵∠BPM+∠BPN＝60°，
∴∠CPK+∠BPN＝60°，
∴∠KPN＝60°，
∴∠MPN＝∠KPN，
在△MPN和△KPN中，
，
∴△MPN≌△KPN（SAS），
∴MN＝KN，
∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，
∴MN＝NC﹣BM．


10．（2021春•静安区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，以BC、AC为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE．
（1）如图1，连接AD、BE，AD与BE相交于点O．
①说明AD＝BE的理由．
②∠AOB＝　120　°．（直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交BC于点F，DF与EF相等吗？为什么？


【解答】解：（1）①∵△BCD和△ACE是等边三角形，
∴CB＝CD，CA＝CE，∠BCD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠DCA＝∠BCE，
在△CDA和△CBE中，
，
∴△CDA≌△CBE（SAS），
∴AD＝BE．
②设AD与BC交于H，

∵△CDA≌△CBE，
∴∠CDA＝∠CBE，
∵∠CDA+∠DHC+∠DCB＝180°，∠CBE+∠BHA+∠BOH＝180°，∠DHC＝∠BHA，
∴∠BOH＝∠DCB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOH＝120°．
故答案为：120；
（2）DF＝EF；
理由如下：过E作EM⊥AC交BC于M，交AC于N，

∵△BCD和△ACE是等边三角形，
∴CD＝CB，CA＝CE＝AE，∠DCB＝∠AEC＝∠ACE＝60°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠DCA＝∠ACB+∠DCB＝90°，∠ECM＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵EM⊥AC于N，CE＝AE，
∴，∠ENC＝90°，
∴∠ACB＝∠CEM，
在△CAB和△ECM中，
，
∴△CAB≌△ECM（ASA），
∴CB＝EM，
∴CD＝EM，
∵∠DCA＝∠ENC＝90°，
∴CD∥ME，
∴∠DCF＝∠EMF，
在△DCF和△EMF，
，
∴△DCF≌△EMF（AAS），
∴DF＝EF．
11．（2021春•静安区期末）如图，在直角坐标平面内有点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下AB的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出AB的长，以此向古代先贤致敬；
（3）点P在y轴上，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，
理由如下：∵点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0），
∴OA＝OB＝OC＝2，
又∵∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠ACO＝∠CAO＝45°，
∴∠BAC＝90°，∠ABO＝∠ACO，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AO，
∴AB2＝4×2＝8，
∴AB＝2，AB＝﹣2（舍去），
∴AB的长为2；
（3）若PB＝PA，则点P与点O重合，即点P坐标为（0，0）；
若BA＝BP＝2，且OA⊥OB，
∴OA＝OP＝2，
∴点P（0，﹣2），
若AB＝AP＝2，且点A（0，2），
∴点P（0，2+2）或（0，2﹣2），
综上所述：点P的坐标为（0，0）或（0，﹣2）或（0，2+2）或（0，2﹣2）．
12．（2021春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
【解答】解：（1）由平行的性质可知，线段AB＝CD，AB∥CD．

（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，

∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠OCD，
在△AEB和△COD中，
∠EAB＝∠OCD
，
∴△AEB≌△COD（AAS），
∴AE＝CO，BE＝DO，
∵A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），
∴AE＝CO＝1，BE＝DO＝2，
∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）．

（3）如图1中，连接AC，OC．设D（0，m），则C（1，m﹣2）．

∵S△ADC＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，
∴5＝×3×m+×m×1﹣×3×（m﹣2），
∴m＝4，
∴点C（1，2）点D（0，4）．
13．（2021春•奉贤区期末）已知△ABC、△AED均为等边三角形，点E是△ABC内的一点．
（1）如图①，说明BD＝CE的理由；
（2）如图②，当点E在线段CD上时，∠CDB＝　60　度（直接写出答案）；
（3）当△DBE为等腰直角三角形时，∠ABD＝　15或30或45　度（直接写出答案）．
【解答】（1）证明：如图①中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝60°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD．

（2）解：如图②中，

由（1）可知△CAE≌△BAD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADE＝60°．
故答案为：60．

（3）解：如图③﹣1中，当∠EDB＝90°，DE＝DB时，

∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵AD＝DE＝DB，∠ADB＝60°+90°＝150°，
∴∠ABD＝∠DAB＝（180°﹣150°）＝15°．

如图③﹣2中，当∠DEB＝90°，ED＝EB时，同法可得∠EAB＝∠EBA＝15°，

∵∠EBD＝45°，
∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°．

如图③﹣3中，当∠EBD＝90°，BE＝BD时，

∵AE＝AD，BE＝BD，
∴AB垂直平分线段DE，
∴AB平分∠EBD，
∴∠ABD＝45°，
综上所述，满足条件的∠ABD的值为15°或30°或45°．
故答案为：15或30或45．
六．几何变换综合题（共2小题）
14．（2021春•静安区校级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．


【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，

∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，

∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，

∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
15．（2021春•黄浦区期末）如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠NAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MBN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由；
（2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形并写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　CE﹣FD＝BD　．（直接写出答案）
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　90°﹣α　（直接写出答案）．

【解答】解：（1）如图1中，
∵等腰△ABC和△ABD全等，
∴AB＝AC＝AD，∠C＝∠ABC＝∠ABD＝∠D，∠BAC＝∠BAD，
∵∠MAN＝∠BAC＝α，
∴∠MAN＝∠BAD＝α，
∴∠EAB＝∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF．
（2）线段CE、FD与线段BD的数量关系是CE﹣FD＝BD，

理由如下：如图2中所示，∵∠MAN＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF，
∵BC＝BD，
∴CE﹣FD＝CE﹣BE＝BC＝BD，
故答案为CE﹣FD＝BD；
（3）如图3中，设AE交BD于点O，连接EF．

∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵AD＝AD，∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠BAD＝∠EAF，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵AD⊥EF，
∴∠DAF+∠AFE＝90°，
∵∠DAF＝∠BAE，∠ABD＝∠AFE，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AOB＝∠AOF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，
∵∠CEA＝∠AFD，
∴∠CEA＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．