2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二下学期期末数学试卷（含详解）

这是一份2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二下学期期末数学试卷（含详解），共18页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．不等式＞0的解集为　 　．
2．＝　 　．
3．设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m＝　 　．
4．直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），则实数a＝　 　．
5．已知eix＝cosx+isinx，则e2022i对应的点位于复平面的第 　 　象限．
6．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为　 　．
7．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是　 　．
8．若直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0的周长，则mn的取值范围是 　 　．
9．已知（x+）n展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第 　 　项．
10．从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来9用），可以组成 　 　个无重复数字的被4整除的四位数．
11．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合X1、X2、…、Xn为集合U的所有子集，从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj，则Xi∩Xj中恰有三个元素的概率为 　 　．
12．若不等式λ2sin2B﹣9sinBsinC+sinAsinC＞0对于任意△ABC恒成立，则|λ|的最小值为 　 　．
二、选择题
13．“x＞1”是“＜1”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
14．空间中有四点A，B，C，D，其中＝（2m，m，2），＝（m，m+1，﹣5），且+＝（5，，﹣3），则直线AB和CD（　　）
A．平行 B．异面 C．必定相交 D．必定垂直
15．一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（　　）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
16．双曲线﹣y2＝1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点（，）或（，﹣）；
③f（x）的值域是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
④函数y＝f（x）﹣x有两个零点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、解答题
17．已知四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求二面角P﹣BC﹣D的大小．

18．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．
（1）当f（﹣）＝0，且|ω|＜1，求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a＝，b+c＝3，当ω＝2，f（A）＝1时，求bc的值．
19．无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4＝0且a1≠﹣2．
（1）求证：{}为等差数列；
（2）若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围．
20．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+a﹣3．
（1）若f（a+1）＝f（2a），求a的值；
（2）若函数y＝f（x）在x∈[2，3]的最小值为5﹣a，求实数a的取值范围；
（3）是否存在整数m、n使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0），F1、F2分别为其左、右焦点．
（1）若T为椭圆上一点，△TF1F2面积最大值为4，且此时△TF1F2为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆焦距长为短轴长的倍，点P的坐标为（2a，a﹣b），Q为椭圆上一点，当|PQ|+|QF1|最大时，求点Q的坐标；
（3）若A为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO交椭圆于B，直线AF1交椭圆于C，直线BF1交椭圆于D，若＝，＝，求λ+μ．（用a、b代数式表示）


参考答案
一、填空题
1．不等式＞0的解集为　（﹣3，2）　．
解：不等式＞0可化为
，或，
解得﹣3＜x＜2，或∅；
∴不等式的解集为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
2．＝　3　．
【分析】利用数列极限的运算法则求解即可．
解：＝＝3，
故答案为：3．
3．设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m＝　16　．
【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．
解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，
故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．
从而得出m+9＝25，解得m＝16．
故答案为：16．
4．直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），则实数a＝　6　．
【分析】先求出直线的方向向量，然后利用法向量与方向向量垂直，由向量垂直的坐标表示列出关于a的方程，求解即可．
解：因为直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），
又直线3x+2y+5＝0的一个方向向量为（﹣2，3），
所以﹣2a+3（a﹣2）＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
5．已知eix＝cosx+isinx，则e2022i对应的点位于复平面的第 　四　象限．
【分析】由题意，表示出e2022i对应的点的坐标，然后确定e2022i对应的点所在的象限即可．
解：因为eix＝cosx+isinx，
所以e2022i＝cos2022+isin2022对应的点的坐标为（cos2022，sin2022），
因为2022÷2π≈320•••1.9π，所以cos2022＞0，sin2022＜0，
所以e2022i对应的点位于复平面的第四象限．
故答案为：四．
6．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为　　．
【分析】根据三视图得出，正方体的体对角线，符合题意，根据图形求解即可．
解：∵空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，
∴把它放到正方体中研究得出：

可判断出正方体的棱长为1，
体对角线为，
∴线段AB为
故答案为：．
7．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是　30°　．
【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可．
解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：
其底面积：S底面积＝πR2，
其侧面积：S侧面积＝2πRl＝πRl，
∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，
∴l＝2R，
故该圆锥的母线与底面所成的角θ有，
cosθ＝＝，
∴θ＝60°，
母线与轴所成角的大小是：30°．
故答案为：30°．
8．若直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0的周长，则mn的取值范围是 　（﹣∞，1]　．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程，可得m+n＝2，再由不等式的性质求解mn的取值范围．
解：圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0化为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，
可得圆心坐标为（2，1），
∵直线mx+2ny﹣4＝0（m，n∈R）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y＝0的周长，
∴直线过圆心，则2m+2n＝4，即m+n＝2．
又m，n∈R，∴mn≤，即mn的取值范围是（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
9．已知（x+）n展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第 　9　项．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，先求得n的值，可得系数最大项．
解：∵（x+）n展开式中的通向公式为 Tr+1＝•2r•xn﹣3r，
令n﹣3r＝0，求得n＝3r，
∵常数项是第五项，即r＝4，可得n＝12，
则通向公式为 Tr+1＝•2r•x12﹣3r，故第r+1项的系数为•2r，
检验可得，当r＝8时，第r+1项的系数•2r 最大，
故答案为：9．
10．从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来9用），可以组成 　276　个无重复数字的被4整除的四位数．
【分析】根据题意，按四位数的后两位数字分3种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，分3种情况讨论：
①四位数的后两位数字为04、20、40、60，有（20+8）×3＝104个符合题意的四位数；
②四位数的后两位数字为12、24、32、52，有（5+12+6）×4＝92个符合题意的四位数；
③四位数的后两位数字为16、36、56、64、92，有（4+12）×5＝80个符合题意的四位数；
则共有104+92+80＝276个符合题意的四位数；
故答案为：276．
11．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合X1、X2、…、Xn为集合U的所有子集，从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj，则Xi∩Xj中恰有三个元素的概率为 　　．
【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
解：因为集合U＝{1，2，3，4，5}，
所以U的子集个数为25＝32个，
从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj，则共有种不同的取法，
Xi∩Xj中恰有三个元素，这三个元素可能有种选法，
假设这三个元素是{3，4，5}，
则{Xi，Xj}的情况有：{{3，4，5}，{1，3，4，5}}，{{3，4，5}，{2，3，4，5}}，{{3，4，5}，{1，2，3，4，5}}，{{1，3，4，5}，{2，3，4，5}}，共4种，
所以Xi∩Xj中恰有三个元素，则共有种不同的取法，
故Xi∩Xj中恰有三个元素的概率为＝．
故答案为：．
12．若不等式λ2sin2B﹣9sinBsinC+sinAsinC＞0对于任意△ABC恒成立，则|λ|的最小值为 　5　．
【分析】直接利用正弦定理的应用，三角函数的关系式的变换，恒成立问题的应用求出结果．
解：根据正弦定理：不等式λ2sin2B﹣9sinBsinC+sinAsinC＞0转换为λ2b2﹣9bc+ac＞0，
由于对于任意三角形恒成立，
故，
由于＝，
所以λ2≥25，
故|λ|≥5，
故最小正值为5．
故答案为：5．
二、选择题
13．“x＞1”是“＜1”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【分析】求出分式不等式的解，利用充要条件的判断方法判断即可．
解：因为＜1的解为：x＜0或x＞1，所以“x＞1”是“＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
14．空间中有四点A，B，C，D，其中＝（2m，m，2），＝（m，m+1，﹣5），且+＝（5，，﹣3），则直线AB和CD（　　）
A．平行 B．异面 C．必定相交 D．必定垂直
【分析】利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出．
解：∵＝（2m，m，2），＝（m，m+1，﹣5），且+＝（5，，﹣3），
∴（3m，2m+1，﹣3）＝（5，，﹣3），
∴3m＝5，2m+1＝，
解得m＝．
∴＝，
＝，
而＝0，
∴．
故选：D．
15．一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（　　）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【分析】对于AB，通过总体均值可知10天新增病例总数，以此可判断；
对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，以此可判断C；
对于D，知道总体均值与方差，假设某一天新增病例超过7人，通过计算方差可判断D．
解：对于A，通过总体均值可知10天新增病例总数为30，又知中位数是4，
所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选A；
对于B，通过总体均值可知10天新增病例总数为10，
又知总体方差大于0，所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选B；
对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选C；
对于D，知道总体均值为2，假设某一天新增病例超过7人，则方差会大于3，
所以可以判断“连续10天，每天新增病例不超过7人”，∴选D．
故选：D．
16．双曲线﹣y2＝1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点（，）或（，﹣）；
③f（x）的值域是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
④函数y＝f（x）﹣x有两个零点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f（x）的图象（位于一三象限），对选项逐一判断，由对称性可得f（x）的图象在二四象限的情况，即可得出答案．
解：对于①：双曲线﹣y2＝1关于原点对称，
可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）是奇函数，故①正确；
对于②：由双曲线的顶点为（±，0），
渐近线方程为y＝±x，
可得f（x）的图象的渐近线为x＝0和y＝±x，
图象关于直线y＝x对称，
可得f（x）的图象过点（，）或（，﹣），
由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限，按顺时针旋转60°位于二四象限，故②正确；
对于③：f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，
由图象可得顶点为点（，）或（，﹣），
不是极值点，则f（x）的值域不是（﹣∞，﹣]∪[，+∞），
f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，
由对称性可得f（x）的值域也不是（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故③不正确；
对于④：当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y＝x有两个交点，
函数y＝f（x）﹣x有两个零点，
当f（x）的图象唯一二四象限时，f（x）的图象与直线y＝x没有交点，
函数y＝f（x）﹣x没有零点，故④不正确；
故选：C．
三、解答题
17．已知四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求二面角P﹣BC﹣D的大小．

【分析】（1）利用线面角定义得到∠PFE即为PF与平面ABCD所成角，在Rt△PFE中，由边角关系求出PE，再利用锥体的体积公式求解即可；
（2）利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，从而得到PB⊥BC，又AB⊥BC，则∠PBE即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，在三角形中由边角关系求解即可．
解：（1）因为PE⊥平面ABCD，
所以∠PFE即为PF与平面ABCD所成角，
所以∠PFE＝45°，
因为EF⊂平面ABCD，则PE⊥EF，
又E、F分别为AB、CD的中点，
则EF∥BC，EF＝BC，
在Rt△PFE中，EF＝4，∠PFE＝45°，
所以PE＝4，
故四棱锥P﹣ABCD的体积为＝；
（2）因为底面ABCD为正方形，
则BC⊥AB，又PE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥PE，
因为AB∩PE＝E，AB，PE⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
则PB⊥BC，
所以∠PBE即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，
在Rt△PBE中，PE＝4，BE＝，
则tan∠PBE＝，
所以二面角P﹣BC﹣D的大小为arctan2．
18．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx．
（1）当f（﹣）＝0，且|ω|＜1，求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a＝，b+c＝3，当ω＝2，f（A）＝1时，求bc的值．
【分析】（1）利用辅助角公式化简，f（﹣）＝0，且|ω|＜1，即可求解ω的值；
（2）由a＝，b+c＝3，当ω＝2，f（A）＝1时，利用余弦定理即可求解bc的值．
解：（1）函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx）．
∵f（﹣）＝0，即＝kπ，k∈Z
且|ω|＜1，
∴．
（2）由ω＝2，f（A）＝1，即2sin（2A）＝1
∵0＜A＜π
∴A＝
由余弦定理，cosA＝
即bc＝（b+c）2﹣bc﹣a2
解得：bc＝2．
19．无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4＝0且a1≠﹣2．
（1）求证：{}为等差数列；
（2）若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围．
【分析】（1）通过计算的值即可得到解答；
（2）由（1）的结论可得：，再根据的增减性可以得到解答．
【解答】（1）证明：由已知可得：，
∴
＝，
∴{}是公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）可得，
∴an＝﹣2+，
结合图象易知函数在n﹣a＜0，n+1﹣a＞0时取到最小值，
∴由a2021为数列{an}中的最小项，有，
解得：，
∴a1的取值范围是：．
20．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+a﹣3．
（1）若f（a+1）＝f（2a），求a的值；
（2）若函数y＝f（x）在x∈[2，3]的最小值为5﹣a，求实数a的取值范围；
（3）是否存在整数m、n使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，得到（a+1）2﹣（a﹣2）（a+1）+a﹣3＝（2a）2﹣2a（a﹣2）+a﹣3解方程即可求出结果；
（2）由于f（x）的对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；
（3）根据题意转化为 m，n 是方程 x2﹣（a﹣2）x+a﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m+n＝2+mn，分离常数，根据m，n 为整数即可求解．
解：（1）因为f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+a﹣3，且 f（a+1）＝f（2a），
所以（a+1）2﹣（a﹣2）（a+1）+a﹣3＝（2a）2﹣2a（a﹣2）+a﹣3，
整理得2a2+a﹣3＝0，解得a＝1或；
（2）f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+a﹣3 的对称轴为 ，
因为 x∈[2，3]，
①当，即 a≤6，则f（x）在x∈[2，3]上单调递增，
所以f（x）min＝f（2）＝22﹣2（a﹣2）+a﹣3＝5﹣a，符合题意；
②当，即6＜a＜8，则f（x）在上单调递减，在单调递增，
所以＝5﹣a，
则a＝6，与6＜a＜8矛盾，不符合题意；
③，即a≥8，则f（x）在x∈[2，3]上单调递减，
所以，
则a＝7，与a≥8矛盾，不符合题意，
综上a≤6，因此实数a的取值范围为（﹣∞，6]；
（3）因为关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]，
①若，则f（x）在[m，n]上单调递增，所以，
即m，n是方程x2﹣（a﹣2）x+a﹣3＝x，即x2﹣（a﹣1）x+a﹣3＝0的两个根，
由韦达定理得，所以 m+n＝2+mn，所以m（1﹣n）＝2﹣n，
当n＝1时，m不存在，舍去，
当n≠1时，，
所以当n＝0时，m＝2；当n＝2时，m＝0，
又因为m＜n，所以n＝2，m＝0，经检验，此时a＝3，
关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集不是[m，n]，故不符合题意舍去；
②若，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
即x2﹣（a﹣2）x+a﹣3﹣n＝0有两个不相等的实数根，且m+n＝2﹣a，
由于m，n为整数，则a为整数，则，
当n＝0时，a＝3，m＝﹣1，经检验关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集不是[m，n]，故不符合题意舍去；
当n＝2时，a＝3，m＝﹣1，经检验符合题意；
故m＝﹣1，n＝2；
③若，则f（x）在[m，n]上单调递减，所以，
即，则m＝n，不合题意舍去．
综上：存在这样的m，n为整数，且m＝﹣1，n＝2．
21．已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0），F1、F2分别为其左、右焦点．
（1）若T为椭圆上一点，△TF1F2面积最大值为4，且此时△TF1F2为等边三角形，求椭圆的方程；
（2）若椭圆焦距长为短轴长的倍，点P的坐标为（2a，a﹣b），Q为椭圆上一点，当|PQ|+|QF1|最大时，求点Q的坐标；
（3）若A为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO交椭圆于B，直线AF1交椭圆于C，直线BF1交椭圆于D，若＝，＝，求λ+μ．（用a、b代数式表示）
解：（1）因为△TF1F2面积最大值为4，
所以点T为短轴的顶点，
所以S＝•|F1F2|•b＝bc＝4①，
因为△TF1F2为等边三角形，
所以∠TF1F2＝60°，
所以tan∠TF1F2＝tan60°＝＝②，
又a2＝b2+c2③，
由①②③，解得a2＝16，b2＝12，c2＝4，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）因为椭圆焦距长为短轴长的倍，
所以2c＝2b×，即c＝b，
又a2＝b2+c2＝b2+2b2＝3b2，即a＝b，
因为P点坐标（2a，a﹣b），则（2b，b），
所以点P在第一象限，
由椭圆的定义可得|PQ|+|QF1|＝|PQ|+2a﹣|QF2|＝2a+（|PQ|﹣|QF2|）≤2a+|PF2|，
当且仅当点Q在PF2延长线上时，取等号，
直线PF2的方程为y＝（x﹣c），
所以y＝（x﹣b），即y＝x﹣b，
联立，解得 x＝0或x＝b，
当x＝0时，y＝﹣b或当x＝b时，y＝0，
所以Q（0，﹣b）或（b，0），
因为点Q在PF2延长线上，
所以Q（0，﹣b）．
（3）设|AF1|＝x，∠AF1F2＝α，则|AF2|＝2a﹣x，
在△AF1F2中，由余弦定理可得，
解得，即，同理可得，
设∠AF2F1＝β，则∠DF1F2＝π﹣β，
所以，
故，
又，同理，
所以＝．