2021赣州高一下学期期末考试数学试题含答案

赣州市2020~2021学年度第二学期期末考试

高一数学试题2021年6月

（考试时间120分钟，试卷满分150分）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.

1.若，则下列判断正确的是（    ）

A. B. C. D.

2.过点且与直线平行的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

3.若向量，满足，且，则在方向上的投影为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.4

4.若，则函数的最大值为（    ）

A. B. C.3 D.4

5.在中，若，，则外接圆的直径为（    ）

A. B. C.12 D.24

6.若直线只经过第二、三、四象限，则（    ）

A.， B.， C.， D.，

7.已知是各项均为正数的等比数列.若，，成等差数列，则（    ）

A. B. C. D.

8.若点，在直线的两侧，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ）

A. B. C. D.

10.已知圆（，为常数）与.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ）

A.内含 B.相交 C.相切 D.相离

11.在边长为1的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若（），则（    ）

A.0 B. C.2 D.

12.已知向量，不共线.若，的起点相同，且向量，，的终点在同一条直线上，则实数的值为（    ）

A.2020 B.2021 C.2022 D.2023

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.

13.在等差数列中，若，则______.

14.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______.

15.在中，已知是边上一点，若，，则______.

16.下列判断正确的是______（请填上所有你认为正确的结果的序号）.

①若，，则；

②已知，向量，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是；

③若数列的前项和（为常数，且），则是等比数列；

④在中，内角，，的对边分别为，，，，.若仅有一解，则边的取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知等差数列满足，其前3项和.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前项和.

18.（本题满分12分）

已知实数，满足约束条件

（1）在如图所示的正方形网格（边长为1个单位长度的正方形）中画出上述不等式组表示的平面区域，并在图中标出相应直线的方程；

（2）求的取值范围.

19.（本大题满分12分）

已知向量，，设向量，，且，其中.

（1）求关于的函数关系式；

（2）设的最小值为.若正实数，满足，求的最小值.

20.（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，.

（1）求面积的最大值；

（2）若，求直线的方程.

21.（本题满分12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，设为直线上一点.

（1）求角的大小：

（2）若，求面积的最大值.

22.（本题满分12分）

已知数列满足，且，数列各项均为正数，其前项和满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求证：.

赣州市2020-2021学年度第二学期期末考试

高数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.1；14，；15.；16.①②（在无错误答案情况下，只选对一个给2分）.

三、解答题

17.解：（1）设的公差为…………1分

则由已知条件得………………3分

即解得，…………4分

故通项公式为…………5分

（2）由（1）得，，………………6分

设的公比为，则………………7分

解得………………8分

故的前项和………………9分

…………10分

18.解：（1）画出约束条件表示的平面区域，如图所示：

………………5分

说明：①正确画出某一条直线并标了直线方程得1分，三条直线全画对得3分；

②正确指出阴影区域得1分；

③三条直线都画对没标出直线方程合计扣1分；

④把直线画成了虚线合计扣1分.

（2）求表示可行域内点与的连线的斜率…………7分

由图可知，当在处时斜率最小…………8分

由解得，则…………9分

当在处时斜率最大…………10分

由，解得，则…………11分

综上可得，的取值范围为………………12分

19.解：（1）因为，所以…………1分

即，

即…………2分

又因为，，

所以，，…………4分

所以，整理得，即.…………5分

（2）由（1）知，

得函数的最小值为…………6分

则……7分

因为，均为正实数…………8分

所以……9分

……11分

当且仅当即，时，等号成立…………12分

20.解：（1）设，则………………1分

且…………3分

∵，所以…………4分

∴面积取得最大值…………5分

（2）设圆心到直线的距离为，则……6分

解得……8分

思路一：根据题意，直线的斜率存在…………9分

设直线的方程为，即…………10分

则，解得…………11分

因此，直线的方程为…………12分

思路二：

如图，设弦的中点为，在中，因为，

所以…………9分

所以…………10分

根据对称性知，直线的斜率…………11分

因此，直线的方程为…………12分

21.解：（1）将代入直线方程，得，

接下分别用正弦定理，余弦定理及射影定理进行转化：

①利用正弦定理，得…………1分

则…………2分

…………3分

∵，∴…………4分

∵，∴………………5分

②利用余弦定理，得

…………1分

………………3分

∵，∴…………4分

∵，∴…………5分

③利用射影定理，得…………3分

∵，∴………………4分

∵，∴…………5分

（2）由，，及余弦定理，得…………6分

………………7分

所以当时取等号…………9分

…………10分

所以当时的最大值为………………12分

22.解：（1）由，得，得.…………1分

由，

得…………2分

因为数列各项均为正数，∴.

所以…………3分

当时，…………4分

因为也符合上式，所以…………5分

（2）由（1）知…………6分

…………8分

则…………9分

设…………10分

因为

，

所以单调递增…………11分

故…………12分