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2021重庆市八中高一下学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2021重庆市八中高一下学期期中考试数学试题含答案,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
重庆八中2020-2021学年度(下)半期考试高一年级数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(i为虚数单位),则( )A. B. C. D.2.如图,已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为,若,则的面积为( )A.3 B. C. D.3.已知m,n为两条不同直线,为两个不同平面,则下列命题中正确的是( )A.如果,那么B.如果,那么C.如果,那么D.如果,那么4.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,则( )A. B. C. D.5.在平行四边形中,设M为线段上靠近B的三等分点,N为线段上靠近D的三等分点,,则向量( )A. B. C. D.6.已知两个非零向量与的夹角为,且,则( )A. B.6 C.4 D.27.在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,且球的体积是,,,则此直三棱柱的高是( )A.1 B.2 C. D.4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量,若,则( )A.或 B.或C.或 D.或10.下面关于复数的四个命题中,结论正确的是( )A.若复数,则 B.若复数z满足,则C.若复数z满足,则 D.若复数满足,则11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”:底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”:四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵中,,且.下列说法正确的是( )A.四棱锥为“阳马”B.四棱锥体积最大为C.四面体为“鳖臑”D.过A点分别作于点E,于点F,则12.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C为钝角,且,则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则________.14.如图所示,为了测量山高,分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点.从A点测得M点的仰角,C点的仰角以及,从C点测得,已知山高米,则山高_________米.15.已知正的边长为,D是边上的动点(含端点),则的取值范围是________.16.如图,一圆锥形物体的母线长为,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于_______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤.17.(10分)已知复数.(Ⅰ)若z在复平面中所对应的点在直线上,求a的值;(Ⅱ)求的取值范围.18.(12分)在四边形中,已知,,,.(Ⅰ)求x、y的关系式;(Ⅱ)若,求x,y的值以及四边形的面积.19.(12分)如图,在直三棱柱中,,E,F分别为,的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求证:平面.20.(12分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若面积的最大值为,求b.21.(12分)已知向量.(Ⅰ)求值域;(Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.且,若,求的周长.22.(12分)如图①所示,在四棱锥中,,平面平面,且是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)求证:.(Ⅱ)过点S作,使得四边形为菱形,连接,得到的图形如图②所示,已知平面平面,且直线平面,直线平面,求三棱锥的体积.重庆八中2020-2021学年度(下)半期考试高一年级数学参考答案一、单选题(40分)题号12345678答案ACBBBACB5.【解析】∵,,则.故选B.6.【解析】由题可知,,∴,即,解得(负值舍去),故选A.7.【解析】如图:∵平面,∴是与底面所成角,∴,∵底面,∴是与底面所成的角,∴,连接,,则.∴或其补角为异面直线与所成的角.不妨设,则,,,∴,.在等腰中,,所以异面直线和所成角的余弦值为,故选C.8.【解析】设.因为,所以,于是(r是外接圆的半径),.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半,所以球的半径为.所以球的表面积为N,解得.于是直三棱柱的高是.故选B.二、多选题(20分)题号9101112答案BCABACDABC11.【解析】在选项B中,在底面有,即,当且仅当时取等号,,故B不正确;其余选项均证明可得,故选ACD.12.【解析】对选项A:由余弦定理得,化简得,故A正确;对选项B:由正弦定理得,又,∴,化简得∵∴∴故,B正确;对选项C:∵∴,故C正确;对选项D:∵∴,故D不正确;故选ABC.三、填空题(20分)题号13141516答案116.【解析】由圆锥的侧面展开图得知:,故,设圆锥的底面半径为r,利用,解得.四、解答题(70分)17.解:(Ⅰ)∵,∴z在复平面中所对应的点的坐标为,在直线上,∴,得.(Ⅱ),因为,且,所以,所以的取值范围为. 10分18.解:(Ⅰ)∵, 2分,∴,即. 5分(Ⅱ)由题意,得,.∵,∴,即由(Ⅰ)可知,∴,∴或. 8分①当时,,此时,,∴,,∴. 10分②当时,,此时∴,,∴.综上可知:或,. 12分19.证明:(Ⅰ)在直三棱柱中,∵平面,平面,∴.又∵,∴.又,∴平面,又平面,∴平面平面. 6分(Ⅱ)取的中点G,连接、,如图所示.∵G、F分别是、的中点,∴,且.又∵E为的中点,∴,且.∴,且,∴四边形是平行四边形,∴.又∵平面,平面,∴平面. 12分20.解:(Ⅰ)由正弦定理可得:∴,∴,又,∴,∵,∴,∴,又,∴; 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理可知:,∴由基本不等式得,∴,当且仅当时等号成立,∴,又的面积的最大值为,∴. 12分21.解:(Ⅰ)∵,∵,∴,故值域为 5分(Ⅱ)∵,∴ ①由可得,又,∴,解得,又∵,由余弦定理得: ② 10分联立①②解得.∴的周长为. 12分22.(Ⅰ)证明:∵,∴.∵面面,面面,面,∴面.又∵面,∴. 5分(Ⅱ)解:如图,取的中点为O,连接.由面面,得.∵,∴,即.∵,∴.∵,,即为等腰直角三角形.∴. 8分在中,∵,∴M是的中点,∴N是的中点.∴. 10分∵,∴.∵面面,∴面,∴. 12分
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