2021陕西省黄陵中学高二下学期期末考试数学（理）试卷PDF版含答案

黄陵中学2020--2021学年度第二学期期末考试

高二数学（理）试题

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝__2__.

[解析]　由题意知＝2，即c＝2.

14.                    

[解析]    n=4,由通项公式可得r=2,则常数项为　

15.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3︰1的比分获胜的概率为

[解析]　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C()2××＝.

16.在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．

【答案】

【解析】圆ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，可以转化成直角坐标方程为：x 2+y2＝2x，

即（x–1）2+y2＝1；直线ρ（cosθ+sinθ）＝a转化成直角坐标方程为：x+y–a＝0．由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以1，解得a＝1±．因为a>0，所以负值舍去．故a＝1．故答案为：1．

三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(10分）在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

【答案】直线l被曲线C截得的弦长为．

【解析1】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C为圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．。。。。。10分

解法2：还可以用几何法先求出弦长的一半求解。

解法3;也可用弦长公式或两点间距离求解。

18.（12分）影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入．研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况，下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平(单位：万元).

(1)利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平，求出线性回归方程＝x＋，其中＝=，＝－ ；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？(的结果保留两位小数)

(参考数据：6.9×4.6＋6.4×4.4＋6.2×3.9＝84.08，  6．92＋6.42＋6.22＝127.01)

[解析]　(1)＝＝6.5，    ＝＝4.3.。。。。。。。。。。。。。。1分

＝＝≈0.88，  ＝4.3－0.88×6.5＝－1.42，。。。。。。。。。。。。4分

∴所求线性回归方程为＝0.88x－1.42.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(2)当x＝9.8时，＝0.88×9.8－1.42＝7.204，

7．204－6.6＝0.604<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

当x＝5.6时，＝0.88×5.6－1.42＝3.508，3．8－3.508＝0.292<1，

所以得到的线性回归方程是可靠的．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19.（12分）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，其中游戏水平为高级和非高级两种．

(1)根据题意完善下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？

(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；

①若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．

②设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附表：K2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.

[解析]　(1)

K2＝≈5.333<6.635，

所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关．。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(2)①甲入选3人名单的概率为P＝＝；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

②根据分层抽样的特征10人中男、女各5人，女生的人数X的所有取值为0,1,2,3；

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝；

所以X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

20.（12分）三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是，乙、丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进相互独立．

(1)求乙、丙两人各自投进的概率；

(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．

[解析]　(1)记甲、乙、丙各自投进的事件分别为A1，A2，A3，

由已知A1，A2，A3相互独立，且满足

解得p(A2)＝，p(A3)＝，

所以乙、丙各自投进的概率分别为，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.

p(ξ＝0)＝(1－)(1－)(1－)＝，

p(ξ＝2)＝(1－)()()＋()(1－)()＋()()(1－)＝，

P(ξ＝3)＝()()()＝，P(ξ＝1)＝1－p(ξ＝0)－p(ξ＝2)－p(ξ＝3)＝，

E(ξ)＝0·＋1·＋2·＋3·＝.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21.（12分）在平面直角坐标系xoy中，直线L的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求直线L的普通方程和曲线C的直角坐标方程。

(2)设直线L与曲线C交于A, B两点，求的值。

答案：（1）   ，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)将直线的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程，利用韦达定理即可求得=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22.（12分）若曲线f(x)＝ex＋x2－mx在点(1，f(1))处的切线斜率为e＋1.

(1)求实数m的值；

(2)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值．

[解析]　(1)f′(x)＝ex＋2x－m，∴f′(1)＝e＋2－m，由条件知e＋2－m＝e＋1，解得m＝1，故实数m的值为1.。。。。。。。。。。。。.。。。。。。。。。5分

(2)f′(x)＝ex＋2x－1为增函数且f′(1)＝e＋1>0，f′(－1)＝e－1－3<0，∴在区间(－1,1)上存在x0使f′(x0)＝0，∴函数f(x)在区间[－1，x0]上单调递减，在区间[x0,1]上单调递增，∴f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，又f(－1)＝e－1＋2，f(1)＝e，∴f(x)max＝e.故f(x)在[－1,1]上的最大值为e.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分