2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷人教B版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷人教B版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A={x|x2−5x+6<0}，B={x|2x−1>0}，则A∪B=（ ）
A.⌀B.RC.AD.B

2. 若i为虚数单位，则4−2i1−i2的虚部为( )
A.4iB.4C.2iD.2

3. 2021年1月，石家庄成为新冠高风险地，为了控制疫情，全市人口进行全员核酸检测，检测方法是：10人一组进行化验，若结果呈阴性，则可断定全组10人全为阴性，不必再化验，若结果呈阳性，则本组至少1人呈阳性，再逐个化验，某小微企业共48人，分4个10人组和1个8人组进行化验，结果测出2人阳性，则化验次数不可能是( )
A.13B.21C.23D.25

4. 函数fx=1x−sinx的图像大致是( )
A.B.
C.D.

5. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn=2an，对于数列{an}，{bn}，则a5lg2b10=( )
A.193209B.209193C.193289D.289209

6. 记Sn为数列an的前n项和，若a1=1，a2=2，且an+2−an=1+−1n+1，则S100的值为( )
A.5050B.2600C.2550D.2450

7. 已知:fx=sinωx+φω>0满足：f−π6=1，fπ3=0，在区间2π3,5π6上，fx为减函数，则ω的最大值为( )
A.3B.5C.7D.9

8. 假设某自动化车床生产的螺母内径ξ服从N1.5,0.022（单位：cm2），且已知P|ξ−μ|<3σ=99.7% ，质量员任意抽取了8个螺母进行检测，检测螺母内径尺寸分别为：1.45、1.51、1.52、1.55、1.47、1.42、1.54、1.49，可根据以下数据判断生产情况不正常的是( )

9. 已知直线l过原点，圆C:x2+y2−6x+5=0，则下列叙述错误的是（ ）
A.圆C的圆心为点3,0
B.设直线l与圆C交于两点A，B，则AB中点M轨迹为一段圆弧
C.存在实数k，使直线m:y=kx−4与圆C相切
D.不存在实数k，使圆C上恰有三个点到直线m:y=kx−4的距离为1

10. 已知定义域为−∞,0∪0,+∞的函数fx满足fab=fa+fb，且当x>1时fx>0，则下列叙述正确的是（ ）
A.函数fx是奇函数B.函数fx是偶函数
C.函数fx在−∞,0单调递增D.函数fx在0,+∞单调递减

11. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(−x)．当x∈[0, 1]时，f(x)=2x−1，则函数g(x)=(x−2)f(x)−1在区间[−3, 6]上的所有零点之和为( )
A.2B.4C.6D.8

12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是侧面BB1C1C内的一个动点（不包含端点），则
下列说中正确的是（ ）

A.三角形AED1的面积无最大值、无最小值
B.存在点E，满足D1E⊥B1E
C.存在有限各点E，使得三角形AED1是等腰三角形
D.三棱锥B−AED1的体积有最大值、无最小值
二、填空题

函数fx=lnxx在x0,fx0处的切线方程经过点0,0，则x0=______.

平面直角坐标系中，正方形ABCD（按顺时针方向）的顶点A3,7，C5,2则向量BD→=________．


正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为BC中点，平面A1C1M与平面CDD1C1交线为l，则l与BD所成角的余弦为________．

已知点F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，过F1做垂直于x轴的直线交椭圆C于点P，∠F1PF2=60∘，且F2为抛物线：y2=43x焦点，则椭圆方程为________．
三、解答题

已知等比数列an的公比为qq≠1，前n项和为Sn,S3=14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．
(1)求an的通项公式；

(2)设bn=1lg2an+1lg2an+2,bn的前n项和为Tn，证明： Tn<12 .

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+ccsB+csC=a．
(1)求∠A；

(2)若c=2b，在以AC为直径的圆上取一点M，且点M在△ABC内部，MC2+MB2=c2，求tan∠MAC．

某校高一年级举办《中华诗词知识比赛》活动，比赛分三个环节，前一个环节的题目都答对，方可进入下一个环节，否则活动停止．
第一个环节有一个必答题，每人答对的概率为34，答对者得1分，否则不得分；
第二个环节有两个必答题，每人每题答对的概率均为34，都答对者得2分，否则不得分；
第三个环节有一个必答题，每人答对的概率为12，答对者得2分，否则不得分．
(1)设每个学生参加活动总得分为ξ，求ξ的分布及期望；

(2)若规定，得3分及3分以上的同学获优胜奖，现有128名学生参加该活动，求获得优胜奖的学生人数的期望．

如图，四边形CDEF为正方形， AB//CD，AB=2BC=2CD，点Q为BF的中点．

(1)求证： BD//平面CEQ；

(2)若∠BAC=30∘,AC⊥BF，求平面CEQ与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，右顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，△ABC的面积为3,AB→⋅AC→=8.
(1)求椭圆方程；

(2)Mx0,y0是椭圆上在第三象限内的动点，直线MA交y轴于P，直线MB交x轴于Q，求△MPQ面积的最大值．

已知fx=lnx+1−sinx，x∈0,π2.
(1)求证：fx<0；

(2)数列an通项公式为an=2n2n+105，证明sina1+sina2+⋯+sina10>3.
参考公式：e≈2.7，e2≈7.4，e3≈20.1，e4≈54.6.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A，B，计算即可．
【解答】
解：A={x|x2−5x+6<0}=(2, 3)，B={x|2x−1>0}=(12, +∞)，
则A∪B=B.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：4−2i1−i2=4−2i−2i=4−2ii−2ii=4i+22=1+2i．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
无
【解答】
解：若2个阳性都在8人组，则化验次数为：5+8=13；
若2个阳性1个在8人组，另1个在某个10人组，则化验次数为：5+10+8=23；
若2个阳性分别在2个不同的10人组，则化验次数为：5+10+10=25；
若2个阳性都在同1个10人组，则化验次数为：5+10=15．
故化验次数不可能是21．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：由f−x=−fx可知fx的图像关于原点对称，排除A；
函数值域中，显然y≠0，故排除C；
x>0，f′x=1−csxx−sinx2>0，故在0,+∞上fx为减函数，排除D．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的前n和公式求出数列的公差，再利用等差数列的通项公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意知：一个月共织了390尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为d，
∴ 30×5+30×292d=390，解得：d=1629
∴ a5=5+1629×4=20929，
∴ lg2b10=lg22a10=a10=5+9×1629=28929，
∴ a5lg2b10=209289.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
由递推公式可得an的偶数项相等，奇数项为等差数列，再利用等差数列的求和得解.
【解答】
解：由an+2−an=1+−1n+1，
得a2k+2−a2k=1+−12k+1=0，
故a2=a4=⋯=a2k=2，
a2k+1−a2k−1=1+−12k−1+1=2，
所以a2k+1=a2k−1+2，
S100=a1+a3+⋯+a99+a2+a4+⋯+a100
=(1+3+5+⋯+99)+2×50
=2600.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：由题意 ω⋅−π6+φ=2k1π+π2，ω⋅π3+φ=k2π， k1,k2∈Z，
其中k=k2−2k1，k∈Z，
故ω=2k−1，
fx取最大值时：x=2nπω−π6n∈Z，在区间2π3,5π6上，fx为减函数，
故存在n0∈Z，使得：2π3≥−π6+2n0πω，5π6≤−π6+2n0+1πω，
得：12n05≤ω≤2n0+1，
由12n05≤2n0+1⇒n0≤52，即n0=2时，245≤ω≤5，
故ω最大值为5．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
无
【解答】
解：假设ξ服从N(1.5,0.022)，ξ满足在区间1.5−0.06,1.5+0.06以外的概率为0.3%，
这是一个小概率事件，几乎不可能发生的，一旦发生，说明生产情况存在异常，
1.42∉(1.44,1.56)，故A可判断生产情况不正常；
1.51∈(1.44,1.56)，故B不可判断生产情况不正常；
1.54∈1.44,1.56，故C不可判断生产情况不正常；
1.55∈1.44,1.56，故D不可判断生产情况不正常.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
轨迹方程
【解析】
无
【解答】
解：对于A，化成标准方程x−32+y2=4，故A正确；
对于B，因为∠OMC=90∘，
所以点M的集合为以OC为直径的圆在圆C内的弧，故B正确；
对于C，因为直线m过定点4,0在圆C内，
所以直线m不能与圆C相切，故C错误；
对于D，圆C的半径为2，
所以要满足圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，
需圆心C到直线m的距离为1，
此时直线m斜率不存在，故D正确.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
无
【解答】
解：令a=b=1，可得f1=0；
又令a=b=−1，可得f−1=0；
令b=1a，f1a=−fa；
令b=−1，可得f−a=fa，
∴函数fx是偶函数，故B正确．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
根据条件可得函数f(x)图象关于x＝1对称且周期为4，作出图象，条件等价于y＝f(x)图象与y=1x−2图象的交点的横坐标，数形结合即可
【解答】
解：由题意得，f(x+2)=−f(x)，
∴ f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为4．
∵ f(x+2)=f(−x)，
∴ f(x)的图象关于x=1对称．
作出f(x)图象如图所示：
则函数g(x)=(x−2)f(x)−1的零点即为y=f(x)图象与y=1x−2图象的交点的横坐标，
四个交点分别关于点(2, 0)对称，
则x1+x4=4，x2+x3=4，即零点之和为8.
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
【解析】
无
【解答】
解：选项A中，边AD1的长度为定值，三角形AED1面积与点E到AD1的距离有关，
当点E在线段BC1上时，距离最小，
此时面积取得最小值，在端点B1，C处的距离最大，
此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），故A不正确；
选项B中，若D1E⊥B1E，
可得点E在以B1D1中点为球心，2为半径的球面上，
因为以B1D1为直径的球面与侧面BB1C1C有交点，
所以存在点E，满足D1E⊥B1E，故B正确；
选项C中，三角形AED1是等腰三角形，
当AE=D1E时，点E在AD1 的中垂面上，且E在侧面BB1C1C上，
所以点E的轨迹是线段B1C（不含端点），有无穷多，故C不正确；
选项D中，由VB−AED1=VE−ABD1=13S△ABD1⋅ℎ，
高ℎ不存在最大值（不包含端点）和最小值，故D不正确．
故选B．
二、填空题
【答案】
e
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由题意，先对函数进行求导，得到函数在x0,fx0处的切线方程，再将点0,0求解即可.
【解答】
解：已知函数f(x)=lnxx，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=1−lnxx2，
易得f′(x0)=1−lnx0x02，
而f(x0)=lnx0x0，
所以函数f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为y−lnx0x0=1−lnx0x02(x−x0)，
因为该切线方程经过点(0,0)，
将该点代入切线方程中可得lnx0=12，
所以x0=e.
故答案为：e.
【答案】
−5,−2
【考点】
平面向量数量积的运算
平行向量的性质
【解析】
无
【解答】
解：将AC→绕着点A顺时针旋转90∘得到向量AM→，
则AM//BD，AM=BD，
由题意得，AC→=2,−5，
设AM→=x,y，
则x2+y2=29,yx×52=1,
解得x=±5，结合题意可得，x=−5，y=−2，
则AM→=BD→=−5,−2．
故答案为：−5,−2．
【答案】
1010
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解：取AB中点为N，AD中点Q，
则平面A1C1M交平面ABA1B1于A1N，
则A1N//l，
又NQ//BD，
故∠A1NQ即为所求异面直线所成角，
设AB=2，
则△A1NQ中，QN=2，A1Q=A1N=5，
cs∠A1NQ=QN2+A1N2−A1Q22⋅QN⋅A1N=1010．
故答案为：1010．
【答案】
x29+y26=1
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：可知|PF1|=b2a， |F1F2|=2c，
又∠F1PF2=60∘，
∴|F1F2||PF1|=2acb2=3，
由题意c=3，a2=b2+c2，
可解得a2=9，b2=6，
∴椭圆的方程为x29+y26=1．
故答案为：x29+y26=1．
三、解答题
【答案】
(1)解：∵ 3a2是2a3与4a1的等差中项，
∴ 6a2=2a3+4a1，
∴ q2−3q+2=0， ∴ q=2或q=1（舍去）.
∵ S3=14，∴ a11−21−23=14，
∴ a1=2，∴ an=2n.
(2)证明：由(1)得bn=1lg22n+1⋅lg22n+2
=1n+1n+2=1n+1−1n+2
Tn=12−13+13−14+14−15+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2，
∴ Tn<12.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：∵ 3a2是2a3与4a1的等差中项，
∴ 6a2=2a3+4a1，
∴ q2−3q+2=0， ∴ q=2或q=1（舍去）.
∵ S3=14，∴ a11−21−23=14，
∴ a1=2，∴ an=2n.
(2)证明：由(1)得bn=1lg22n+1⋅lg22n+2
=1n+1n+2=1n+1−1n+2
Tn=12−13+13−14+14−15+…+1n+1−1n+2
=12−1n+2，
∴ Tn<12.
【答案】
解：(1)b+c=acsB+acsC
⇒sinB+sinC=sinAcsB+sinAcsC
⇒sinA+C+sinA+B=sinAcsB+sinAcsC
=csAsinB+sinC=0.
∵ sinB+sinC≠0，
得：csA=0⇒∠A=90∘．
(2)如图.
设∠MAC=θ,A∈0,π，
则MC=bsinθ，MA=bcsθ.
在△ABM中，MB2=c2+b2cs2θ−2c⋅bcsθcs90∘−θ
=c2+b2cs2θ−2cbcsθsinθ
=4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ，
∴ bsinθ2+4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ=c2=4b2，
∴ sin2θ+cs2θ−4sinθcsθ=0，
等式两边同除cs2θ，得：tan2θ−4tanθ+1=0，
∴ tanθ=2±3，
当tanθ=2−3<12时，点M在△ABC外，
故tanθ=2+3．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)b+c=acsB+acsC
⇒sinB+sinC=sinAcsB+sinAcsC
⇒sinA+C+sinA+B=sinAcsB+sinAcsC
=csAsinB+sinC=0.
∵ sinB+sinC≠0，
得：csA=0⇒∠A=90∘．
(2)如图.
设∠MAC=θ,A∈0,π，
则MC=bsinθ，MA=bcsθ.
在△ABM中，MB2=c2+b2cs2θ−2c⋅bcsθcs90∘−θ
=c2+b2cs2θ−2cbcsθsinθ
=4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ，
∴ bsinθ2+4b2+b2cs2θ−4b2csθsinθ=c2=4b2，
∴ sin2θ+cs2θ−4sinθcsθ=0，
等式两边同除cs2θ，得：tan2θ−4tanθ+1=0，
∴ tanθ=2±3，
当tanθ=2−3<12时，点M在△ABC外，
故tanθ=2+3．
【答案】
解：(1)由题意可知ξ的取值可能为0，1，3，5，
Pξ=0=14，Pξ=1=34×1−916=2164，
Pξ=3=34×916×12=27128，Pξ=5=34×916×12=27128，
Eξ=1×42128+3×27128+5×27128=12964．
(2)设学生参加活动总得分为ξ，
则Pξ≥3=34×916=2764，
又X∼B128,2764，
∴ EX=128×2764=54．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可知ξ的取值可能为0，1，3，5，
Pξ=0=14，Pξ=1=34×1−916=2164，
Pξ=3=34×916×12=27128，Pξ=5=34×916×12=27128，
Eξ=1×42128+3×27128+5×27128=12964．
(2)设学生参加活动总得分为ξ，
则Pξ≥3=34×916=2764，
又X∼B128,2764，
∴ EX=128×2764=54．
【答案】
(1)证明：如图，连接DF，交CE于点O，连接QO.
∵ 四边形CDEF为正方形，
∴ O为DF中点.
又Q为BF中点．
∴ OQ//BD，而OQ⊂平面CEQ，BD⊄平面CEQ，
∴ BD//平面CEQ.
(2)解：∵ AB=2BC，∠BAC=30∘，
在△ABC中，由ABsin∠ACB=BCsin30∘，
得sin∠ACB=1，则∠ACB=90∘
∴ AC⊥BC.
∵ AC⊥BF，BF∩BC=B，
∴ AC⊥平面BCF，而CF⊂面BCF，有AC⊥CF.
∵ CD⊥CF，AC∩CD=C，
∴ CF⊥平面ABCD，而BC⊂面ABCD，有CF⊥BC.
以C为坐标原点，以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=2，则BC=CD=1，AC=3，
则A3,0,0，B0,1,0，F0,0,1，
∴ BA→=3,−1,0，CB→=0,1,0，CF→=0,0,1，
而CE→=CD→+CF→=12BA→+CF→=32,−12,1，
CQ→=12CB→+CF→=0,12,12.
设面CEQ的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅CE→=0，n→⋅CQ→=0，即32x−12y+z=0，12y+12z=0，
令y=2，则n→=23,2,−2.
由CF⊥面ABCD知：CF→是面ABCD的一个法向量.
设面CEQ与面ABCD所成锐二面角的平面角为θ，
则csθ=|n→⋅CF→||n→|CF→=225=55.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
(1)由正方形、中位线的性质易得OQ//BD，根据线面平行的判定可证BD平面CEQ；
(2)由线面垂直的判定及性质证明AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=2标注相关点的坐标，求面CEO、面ABCD的法向量，应用向量法求二面角的余弦值．
【解答】
(1)证明：如图，连接DF，交CE于点O，连接QO.
∵ 四边形CDEF为正方形，
∴ O为DF中点.
又Q为BF中点．
∴ OQ//BD，而OQ⊂平面CEQ，BD⊄平面CEQ，
∴ BD//平面CEQ.
(2)解：∵ AB=2BC，∠BAC=30∘，
在△ABC中，由ABsin∠ACB=BCsin30∘，
得sin∠ACB=1，则∠ACB=90∘
∴ AC⊥BC.
∵ AC⊥BF，BF∩BC=B，
∴ AC⊥平面BCF，而CF⊂面BCF，有AC⊥CF.
∵ CD⊥CF，AC∩CD=C，
∴ CF⊥平面ABCD，而BC⊂面ABCD，有CF⊥BC.
以C为坐标原点，以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=2，则BC=CD=1，AC=3，
则A3,0,0，B0,1,0，F0,0,1，
∴ BA→=3,−1,0，CB→=0,1,0，CF→=0,0,1，
而CE→=CD→+CF→=12BA→+CF→=32,−12,1，
CQ→=12CB→+CF→=0,12,12.
设面CEQ的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅CE→=0，n→⋅CQ→=0，即32x−12y+z=0，12y+12z=0，
令y=2，则n→=23,2,−2.
由CF⊥面ABCD知：CF→是面ABCD的一个法向量.
设面CEQ与面ABCD所成锐二面角的平面角为θ，
则csθ=|n→⋅CF→||n→|CF→=225=55.
【答案】
解：(1)S△ABC=12⋅2b⋅a=ab=3，
AB→=−a,b,AC→=−a,−b，
∴ AB→⋅AC→=a2−b2=8，
与ab=3解得：a2=9,b2=1，
∴ 椭圆方程为：x29+y2=1.
(2)设 P0,p,Qq,0，
则kQB=kMB⇒−1q=y0−1x0⇒q=−x0y0−1，
kPA=kMA⇒−p3=y0x0−3⇒p=−3y0x0−3，
S△MPQ=S△MPB−S△QPB
=12|BP|⋅|x0|−12|BP|⋅|q|
=12|BP| ⋅|x0−q|
=−121+3y0x0−3x0+x0y0−1
=−12⋅(x0−3+3y0)x0y0(x0−3)(y0−1).
∵ x029+y02=1x0<0,y0<0，
∴ x03=csθ,y0=sinθ(θ∈(π,32π))，
S△MPQ=−12⋅3csθ−3+3sinθ⋅3csθsinθ3csθ−3sinθ−1
=−32⋅csθ−1+sinθ⋅csθsinθcsθsinθ−csθ−sinθ+1.
∵ csθ+sinθ2=1+2csθsinθ，
∴ csθsinθ=csθ+sinθ2−12=csθ+sinθ+1csθ+sinθ−12，
∴ S△MPQ=−32⋅(csθ+sinθ−1)2(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ−1)−2(csθ+sinθ−1)=−32csθ+sinθ+1=−322sinθ+π4−32，
当θ=5π4时，S△MPQ取最大值为322−32.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)S△ABC=12⋅2b⋅a=ab=3，
AB→=−a,b,AC→=−a,−b，
∴ AB→⋅AC→=a2−b2=8，
与ab=3解得：a2=9,b2=1，
∴ 椭圆方程为：x29+y2=1.
(2)设 P0,p,Qq,0，
则kQB=kMB⇒−1q=y0−1x0⇒q=−x0y0−1，
kPA=kMA⇒−p3=y0x0−3⇒p=−3y0x0−3，
S△MPQ=S△MPB−S△QPB
=12|BP|⋅|x0|−12|BP|⋅|q|
=12|BP| ⋅|x0−q|
=−121+3y0x0−3x0+x0y0−1
=−12⋅(x0−3+3y0)x0y0(x0−3)(y0−1).
∵ x029+y02=1x0<0,y0<0，
∴ x03=csθ,y0=sinθ(θ∈(π,32π))，
S△MPQ=−12⋅3csθ−3+3sinθ⋅3csθsinθ3csθ−3sinθ−1
=−32⋅csθ−1+sinθ⋅csθsinθcsθsinθ−csθ−sinθ+1.
∵ csθ+sinθ2=1+2csθsinθ，
∴ csθsinθ=csθ+sinθ2−12=csθ+sinθ+1csθ+sinθ−12，
∴ S△MPQ=−32⋅(csθ+sinθ−1)2(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ+1)(csθ+sinθ−1)−2(csθ+sinθ−1)=−32csθ+sinθ+1=−322sinθ+π4−32，
当θ=5π4时，S△MPQ取最大值为322−32.
【答案】
证明：(1)f′x=1x+1−csx=gx，
g′x=−1x+12+sinx=ℎx，
ℎ′x=2x+13+csx>0，
故ℎx=g′x为增函数，
而ℎ0<0，ℎπ2>0，
故存在x0∈0,π2，ℎx0=g′x0=0，
当x∈0,x0时，g′x=ℎx<0，
f′x=gx为减函数，f′x=gx当x∈x0,π2时，g′x=ℎx>0，
f′x=gx为增函数，
又f′π2=gπ2>0，
故存在x1∈x0,π2，使得f′x1=gx1=0，
当x∈0,x1时，f′x=gx<0，
fx为减函数，fx当x∈x1,π2时，f′x=gx>0，
fx为增函数，
fx综上，fx<0.
(2)由(1)知，在(0,π2) 上，lnx+1∵ 0<2n2n+105<1，
∴ sinan>lnan+1=ln2n2n+105+1=ln2n+1+1052n，
故sina1+sina2+⋯+sina10
>ln(22+10521+105)+ln(23+10522+105)+⋯+ln(211+105210+105)
=ln22+10521+105⋅23+10522+105⋅⋯⋅211+105210+105
=ln2153107.
要证原式>3，只需证：2153107>e3=20.1.
107×20.1=2150.7<2153，故原式得证．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
数列的求和
数列与函数的综合
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)f′x=1x+1−csx=gx，
g′x=−1x+12+sinx=ℎx，
ℎ′x=2x+13+csx>0，
故ℎx=g′x为增函数，
而ℎ0<0，ℎπ2>0，
故存在x0∈0,π2，ℎx0=g′x0=0，
当x∈0,x0时，g′x=ℎx<0，
f′x=gx为减函数，f′x=gx当x∈x0,π2时，g′x=ℎx>0，
f′x=gx为增函数，
又f′π2=gπ2>0，
故存在x1∈x0,π2，使得f′x1=gx1=0，
当x∈0,x1时，f′x=gx<0，
fx为减函数，fx当x∈x1,π2时，f′x=gx>0，
fx为增函数，
fx综上，fx<0.
(2)由(1)知，在(0,π2) 上，lnx+1∵ 0<2n2n+105<1，
∴ sinan>lnan+1=ln2n2n+105+1=ln2n+1+1052n，
故sina1+sina2+⋯+sina10
>ln(22+10521+105)+ln(23+10522+105)+⋯+ln(211+105210+105)
=ln22+10521+105⋅23+10522+105⋅⋯⋅211+105210+105
=ln2153107.
要证原式>3，只需证：2153107>e3=20.1.
107×20.1=2150.7<2153，故原式得证．ξ
0
1
3
4
P
32128
42128
27128
27128
ξ
0
1
3
4
P
32128
42128
27128
27128