2021菏泽高二下学期期末联考数学试题（A卷）含答案

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菏泽市2020—2021学年度第二学期期末考试

高二数学试题（A）

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

2．地摊经济既体现了一座城市烟火气，也是城市综合治理能力与治理水平的一个刻度与窗口。如图1、图2分别表示某市各区的地摊的摊位数和食品神位比例，现用分层抽样的方法抽取5%的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（    ）

A．210，24 B．420，24 C．210，48 D．420，48

3．“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程，决定系数，以下说法正确的是（    ）

A．第四个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般

B．第四个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好

C．销售量的多少有96%是由研发投入费用引起的

D．销售量的多少有4%是由研发投入费用引起的

5．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为，是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）

A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线

6．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．0

7．甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1，2，5，6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数是3，4，从乙箱子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知圆：和圆：则（    ）

A．两圆相交 B．公共弦长为 C．两圆相离 D．公切线长

10．某市有3名男生，4名女生组成代表队参加了2020年全国高中生健美操大赛。这7名学生合影留念，在下列不同的条件下，不同的排列方法数正确的是（    ）

A．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法

B．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法

C．排成前后两排，男生在前排，女生在后排，共有种方法

D．全体排成一排，其中甲既不站在最右边，也不站在最左边，共有种方法

11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ）

A．甲地：中位数为2，众数为3 B．乙地：总体平均数为1，中位数为1

C．丙地：极差为3，第80百分位数为4 D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3

12．已知抛物线：，为坐标原点，一树平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A．

B．

C．

D．延长交的准线于点则存在实数使得

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中常数项为______．（用数字表示）

14．对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：

①离心率为2：②一条渐近线的斜率为；③实轴长为4，且焦点在轴上，写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程______．

15．费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当时，关于，，的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选两个数字作为方程中的指数，方程存在正整数解的概率为______．

16．已知圆：，点是直线：上的动点，若在圆上总存在不同的两点，使得四边形是菱形，则的取值范围为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线与圆相交于，两点、从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各掷一次骰子，若两次点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

（1）若以表示和为6的事件，求；

（2）现连玩两次，若以表示甲两次都赢的事件，表示在甲赢的条件下，乙贏的事件，求和；

（3）现连玩三次，若以表示甲至少赢一次的事件，表示乙至少赢两次的事件，试问与是否为互斥事件？为什么？

19．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为60且点是上一点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由．

20．（12分）某企业为了解生产线进行技术升级改造前后的效果，质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线各200件产品（甲采用旧的生产模式，乙采用新的生产模式），在抽取的400件产品中，根据检测结果将它们分为“”、“”、“”三个等级，等级为合格品，等级为次品，统计结果如表所示：

根据国家相关要求所有次品必须由厂家自行销毁不得出售。

（1）请根据所提供的数据完成下面的列联表，估依据的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级相关联？

（2）在抽检的所有次品中，按甲、乙生产线的生产的次品比例进行分层抽样抽取10件产品，然后从这10件产品中随机抽取5件，记其中属于甲生产线生产的有件，求的分布列和数学期望．

（3）每件产品生产的成本为20元，，等级产品的出产单价分别为元、40元．若甲生产线抽检的产品中有70件等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件产品比升级前多盈利不超过9元，则等级产品的出厂单价最高为多少元？附：，其中．

21．（12分）某市为提升农民年收入，更好地实现2021年扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：

（ⅰ）在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于该市制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，该市随机走访了1000位农民，若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

附参考数据：，随机变量服从正态分布，则，，．

22．（12分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且．

（1）求椭圆的方程：

（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）．

①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：

②求面积的最大值．

高二数学试题（A）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1-4 DABC  5-8 BACD

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

9．AB  10．BC  11．BCD  12．ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 14．①②；①③；②③

15． 16．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）

解：选①

（1）由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离

即，所以圆的方程为．

（2）记线段的中点为，依据可得

且，，则

即点到直线的距离为1，

若直线的斜率存在设为，直线：即，

所以，解得，直线的方程为．

若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．

综上直线的方程为或．

选②由与圆关于直线对称知圆的半径，

所以圆的方程为．

（2）同上。

选③（1）圆的公切线长3，设圆的半径为则

，解得

所以圆的方程为．

（2）同上．

18．（12分）

解：（1）甲、乙各掷一次骰子都有6种可能，因此基本事件的总数为，

事件包括甲、乙掷骰子的情况有，，，，共5种情况．

∴．

（2）由题意知玩一次甲赢的概率，

则，．

（3）与不是互斥事件，因为事件与可以同时发生，如甲贏一次，乙贏两次的事件，即符合题意．

19．（12分）

解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或．

当时，的标准方程为，代入，无解．

当时，的标准方程为，代入，解得．

故的标准方程为．

（2）不能是线段的中点

设交点，，

当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意。

当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组

，整理得，

则，由得，

将代入判别式，

所以满足题意的直线也不存在．

所以点不能为线段的中点．

20．（12分）

解：（1）根据所提供的数据，可得列联表：

则，

并依据的独立性检验，认为产品的合格率与技术升级相关联；

（2）由题意知甲乙生产线生产的次品比例数为，故抽取的10件产品中甲乙生产线分别是8件，2件，所以随机抽取5件属于甲生产线的数量可能为3，4，5，

则，，，

所以的分布列为

所以．

（3）甲生产线抽检的产品有70件等级，90件等级，40件等级，乙生产线抽检的产品中有130件等级，60件等级，10件等级，

因为用样本的频率估计概率，所以甲生产线，单件产品的利润

，

，

∴，∴．

所以等级产品的出厂单价最高为50元．

21．（12分）

解：（1）千元，故估计50位农民的年平均收入为17.40千元，

（2）由题意知

（ⅰ），所以时，

满足题意，即最低年收入大约为14.77．

（ⅱ）由，

每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，

记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，

于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为

，

从而由，

得，而，

所以，当时，，

当时，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人．

22．（12分）

解：（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则

，连接，所以，所以．

又在椭圆上则，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）①证明：设，，

联立，整理可得：，

所以，可得，

，，

设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即，

所以，由，所以，

所以直线恒过定点；

②由①可得：，

原点到直线的距离，

所以，

因为，当且仅当时，

即，即时取等号，

所以，即面积的最大值为1．