2021省哈尔滨第三十二中学高二下学期期末考试理科数学试题含答案

2020-2021学年度下学期高二数学期末考试试卷

理科

   (考试范围：选修2-2，2-3，4-4，4-5，考试时间：120分钟，试卷满分：150分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数，则等于（   ）

A．                B．               C．             D．

2．若函数，则（   ）

A．                  B．            C．             D．

3．曲线在点处的切线方程为（   ）

A．       B．        C．      D．

4．甲､乙､丙､丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳､篮球､竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，则甲不选游泳､乙不选篮球的概率为（   ）

A．               B．                 C．              D．

5．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（   ）

A．48                 B．72                C．90              D．120

6．将个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（   ）不同分分配方法.

A．18                B．4                 C．3                D．12

7．展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是（   ）

A．-210              B．-960               C．960              D．210

8．已知为正数，随机变量的分布列为

则（   ）

A．                 B．               C．               D．

9．若随机变量，，则（   ）

A．                 B．                C．              D．

10．已知随机变量，若，则（   ）

A．             B．             C．              D．

11．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的一条切线方程为（   ）

A．      B．      C．       D．

12．曲线(θ为参数)中两焦点间的距离是（   ）

A．             B．             C．2            D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上.

13．观察以下式子：

；；；

按此规律归纳猜想第5个等式为______                    ____.（不需要证明）

14．定积分的值为_         ___.

15．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有________种．

16．点的极坐标为________________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数在与时都取得极值．

（1）求的值与函数的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．

18.（本小题满分12分）

已知，.

（1）求；

（2）若，求.

19.（本小题满分12分）

用0，1，2，3，4，5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？

（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？

20.（本小题满分12分）

某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).

（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.

（2）根据以上数据完成如下列联表

（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？

附表：

(参考公式：，其中)

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，抛物线的方程为.

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（2）直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，，求的斜率.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

2020-2021学年度下学期高二数学期末考试试题答案

理科

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．B

【分析】

利用复数的乘方法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】

，则，则，故.

故选：B.

2．D

【分析】

利用求导公式直接求导即可.

【详解】

根据求导公式，.

故选：D

3．A

【分析】

求出函数的导数，计算出的值，然后利用点斜式写出所求切线方程.

【详解】

，，则，

因此，所求切线方程为，

故选：A.

4．B

【分析】

利用分步计数原理计数，利用古典概型公式计算.

【详解】

甲乙丙丁依次任选一项进行锻炼的不同方法种数为3×3×3×3种，

其中甲不选游泳，甲有2种选法，乙不选篮球，乙有2种选法，丙丁还是各有3种选法，

共有2×2×3×3种不同的选法，∴甲不选游泳､乙不选篮球的概率为.

故选：B.

5．A

【分析】

根据题意可得甲、乙只能在第二位和第五位，根据分步乘法原理，即可得答案.

【详解】

由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，

所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，

所以总排法有种.

故选：A

6．C

【分析】

每个班上至少一个名额，则名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额即可；

【详解】

依题意，名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额有种，故不同的分配方法有3种；

故选：C

7．B

【分析】

由二项式系数和等于，求得n的值，写出通项公式，计算可得.

【详解】

由已知得：,∴,

∴展开式的通项公式为,

令,对应系数为：.

故选：B.

8．C

【分析】

利用分布列的概率和为1，即可求解.

【详解】

由分布列可知，，得．

故选：C

9．D

【分析】

根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.

【详解】

因为，，

则，解得，

所以.

故选：D.

10．B

【分析】

利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.

【详解】

因为随机变量，则.

故选：B.

11．A

【分析】

利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可.

【详解】

在极坐标系中，圆的圆心为，半径为，如图所示：

所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：，或，

故选：A

12．C

【分析】

将曲线的参数方程化为普通方程，求解即可.

【详解】

曲线(θ为参数)化为普通方程为：，

则曲线表示焦点在轴的椭圆，，所以,即两焦点间的距离是.

故选：C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．

【分析】

利用归纳推理即可得出答案.

【详解】

依题可知第5个的等式为.

故答案为：

14．

【分析】

直接利用定积分运算求解.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查定积分的计算，属于基础题.

15．6

【分析】

根据组合知识直接计算.

【详解】

选出的人员中恰好有一名女生的选法有种

故答案为：6

16．

【分析】

利用求解即可.

【详解】

设点的极坐标为，

又点在第四象限，则，

由，得，则，

即点的极坐标为；

故答案为：.

17．（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．

（2）

【分析】

（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；

（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．

【详解】

（1），f（x）＝3x2+2ax+b

由解得，

f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：

所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．

（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，

得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，

所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．

要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．

解得c＜﹣1或c＞2．

【点睛】

本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．

18．（1）4；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用复数运算公式，可求得两个复数的乘积.（2）先根据原方程化简出的表达式，再代入已知的值，最后将分母实数化即可求得的值.

试题解析：

（1）.

（2）由，得，.

19．（1）； （2）.

【分析】

（1）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，剩下百位和十位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，第一类是千位是中任意一个的、第二类是千位是，且百位是中的一个的、第三类是千位是，且百位是和十位是中的一个的.把这三种情况的种类数相加，即可求得结果.

【详解】

（1）个.（2）个.

【点睛】

本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基础题.

20．（1）答案见解析；（2）列联表答案见解析；（3）有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.

【分析】

（1）由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可；

（2）根据茎叶图填写列联表即可；

（3）由题意，求随机变量的观测值，并与参考值作比较，即可判断.

【详解】

（1）由茎叶图，知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主.

（2）列联表如下所示：

（3）由题意，知随机变量的观测值，

∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.

21．（1）.

（2）的斜率为或．

【解析】

试题分析：(1)把抛物线的方程可利用公式化成极坐标方程；（2）由直线的参数方程求出直线的极坐标方程，再将的极坐标方程代入的极坐标方程，根据即可求出直线的斜率.

试题解析：（1）由可得，

抛物线的极坐标方程；

（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，

设所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得

,

∵（否则，直线与抛物线没有两个公共点）

于是，

，

由得，

所以的斜率为1或-1．

22．（1）（2）

【详解】

试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；

（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.

试题解析：（1）因为，

所以当时，由得；

当时，由得；

当时，由得.

综上，的解集为.

（2）（方法一）由得，

因为，当且仅当取等号，

所以当时，取得最小值5，

所以当时，取得最小值5，

故，即的取值范围为.

（方法二）设，则，

当时，取得最小值5，

所以当时，取得最小值5，

故，即的取值范围为.