2021河南省商周联盟高二下学期6月联考数学理科试题含答案

商周联盟2020~2021学年高二6月联考

数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：选修2-2，选修2-3，选修4-4，选修4-5．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点为（    ）

A． B． C． D．

2．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得回归直线方程，则宣传费用为9万元时，销售额约为（    ）

A．123万元 B．128万元 C．132万元 D．138万元

3．已知，则对，（    ）

A．  B．

C．  D．

4．在四张卡片上写上甲、乙、丙、丁四位同学的名字，再随机地发给这四位同学，在甲得到写有自己名字的卡片的情况下，其他人得到的都不是写有自己名字的卡片的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．若，则（    ）

A．120 B．24 C．-24 D．-120

6．已知复数，，则下列结论：①若，则；②若，则；③；④；⑤正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（    ）

A． B． C． D．9

8．，，三人参加单位组织的安全生产知识（闭卷）竞赛，三人向组织人员询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：

①不是第一名；②不是第三名；③是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（    ）

A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

9．已知，若，， ，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）

A．26种 B．30种 C．37种 D．42种

11．从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

12．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（    ）

A． B．2 C． D．

二、填空题：本题共4小题， 每小题5分，共20分．

13．______．

14．某校2000名学生的某次数学考试成绩，则成绩位于区间的人数大约是______人（注：若，则，，）

15．30030能被______个不同正偶数整除．

16．一几何体是由圆柱及其上的半球组合而成，球的半径等于圆柱底面半径，若该组合体的体积为，当圆柱的半径为______时，该组合体的表面积最小．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

某餐厅为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该餐厅的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）完成上述列联表，并判断能否有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异？

（2）该餐厅为了进一步提高服务水平，改善顾客的用餐体验，在不满意的顾客中利用分层抽样的方法抽取6人听取他们的意见，并从这6人中抽取3人作为监督员，设为抽取的3人中男顾客人数，求的分布列及数学期望．

附：，．

18．（本小题满分12分）

用两种方法证明：能被49整除．

19．（本小题满分12分）

2021年五--期间，某大型超市举办了一次回馈消费者的有奖促销活动，消费者消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，并获得用相应的奖励（抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种）．抽奖方法及奖励如下：

方案一：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球1个，白球2个，黑球7个）的抽奖盒中，一次摸出3个球，奖励规则为：若摸出1个红球和2个白球，享受免单优惠；若摸出2个白球和1个黑球则打4折；若摸出1个红球2个黑球，则打6折；若摸出1个白球2个黑球则打9折，其余情况不打折．

方案二：从装有10个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．

（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费了1000元，试从数学期望角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

20．（本小题满分12分）

（1）已知，且，用分析法证明：；

（2）已知函数，证明：在上单调递增．

21．（本小题满分12分）

已知函数（为常数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰好有2个零点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线的交点为，，与轴的交点为，．求的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围．

商周联盟2020~2021学年高二6月联考·数学试卷（理科）

参考答案、提示及评分细则

1．D  由题意，得，所以．所以在复平面内对应的点为．故选D．

2．C  由表格数据知：，，由回归直线方程的性质，得，所以，故，所以当万元时，万元．故选C．

3．A  

．故选A．

4．A  设事件为“甲得到写有自己名字的卡片”，事件为“其他三人得到的卡片都不是写有自己名字的卡片”，则，，故．故选A．

5．D  令，则，所以，所以．故选D．

6．A  ①错误，例如，满足，但，；②错误，例如，，满足条件．但二者是虚数，不能比较大小；③错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；④正确；⑤错误，类似于③．故选A．

7．C   ，由定积分的几何意义知表示曲线（单位圆的上半部分）与直线，及坐标轴所围成的图形的面积，所以．所以．故选C．

8．B  由题意知若③对，则②也对，不合题意，故③一定错误，则为第一名，或为第二名，若为第一名，则①正确，那么②错误，故为第三名，符合题意；若为第二名，此时①②同真，或同假，不合题意．故选B．

9．B  ，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又的定义域为，所以在，上单调递减，又，，，，所以．故选B．

10．C  根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：

①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，

②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，

③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，

则有种不同的选法．故选C．

11．B  记为中被3除余数为的数所组成的集合，则在，，中各有11个元素，在中任取3个元素，其和被3除余数为0，在，，各取一个元素，其和被3除余数为0，所以，同理可得，，很明显，所以．故选B．

12．D  当时，，，，所以的取值为0，所以，所以；

当时．，若时，，故，若时，，，故，所以，所以；

当时，，若时，，故；若时． ，故；若时，，故，5，所以，所以；

当时，，若时，故；若时，，故；若时，，故，5，若时．，故，10，11，所以．所以；

以此类推，可以归纳，得，所以，所以，所以．故选D．

13． 

．

14．43  ，其中，，所以，，所以，所以成绩在的人数估计约为人．

15．32  先把30030分解成质因数的形式：；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个．

16．3  法一：设圆柱的半径为，高为，则，即，所以，所以该组合体的表面积，当且仅当，即时等号成立．

法二：设圆柱的半径为，高为，则，即，所以，所以该组合体的表面积，所以，令，得，易知当时，取得最小值．

17．解：（1）

所以，

所以能有95%的把握认为男、女顾客对该餐厅服务的评价有差异．

（2）由题意知，抽取的6人中男顾客，女顾客的人数分别为2人，4人，

所以的取值为0，1，2，

，，

，

所以其分布列为

所以其数学期望．

18．证明：方法一：

因为为整数，

所以能被49整除．

方法二：（1）当时，，能被49整除．

（2）假设当，能被49整除，

那么，当，．

因为能被49整除，也能被49整除，

所以能被49整除，即当时命题成立，

由（1）（2）知，能被49整除．

19．解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出1个红球，2个白球，

设顾客享受到免单优惠为事件，则，

所以两位顾客均享受到免单的概率为．

（2）若选择方案一：设付款金额为元，则可能的取值为0、400、600、900、1000．

，，

，，

，

故的分布列为

所以．

若选择方案二：设摸到红球的个数为，付款金额为，则，

由已知可得，故，

所以（元）．

因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．

20．证明：（1）因为，且，所以，，，

要证，只需证即可，

只要证，即证，

只要证，

因为，，，所以，，

所以成立．命题得证．

（2）任取，，且，

因为，所以，

由，得，所以，

所以，所以，

所以，

即．

所以在上单调递增．

21．解：（1）函数的定义域为，

，

当时，由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，的两根是，2．

①当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增；

②当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；

③当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递减，在，上单调递增；

 （2）问题可以转化为关于的方程有两个不相等的实数根，

因为（由易得），所以，

令，则

．

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以当时，，

当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，又当时，，

所以，所以，即的取值范围为．

22．解：（1）由，得，消去参数，得，

即曲线的普通方程为；

由，得，

即．

又，，所以，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）因为直线的方程为，所以直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的方程，得．

所以，设，两点对应的参数分别为，，则

，．

所以

．

23．解：（1）时，，

所以，当时，不等式变为，解得；

当时，不等式变为，不等式无解；

当时，不等式变为， 解得．

所以原不等式的解集为．

（2）因为，当且仅当时等号成立，

所以．

由题意知，

所以，或，

所以，或．

所以的取值范围为．