河南省商周联盟2020-2021学年高二下学期6月联考 数学文科试题 Word版含答案

商周联盟2020～2021学年高二6月联考

数学试卷（文科）

一、选择题

1．若复数满足（为虚数单位），则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．如图是某公司的组织结构图，则销售部的直接上位领导是（    ）．

A．董事会   B．总经理   C．副总经理一  D．副总经理二

3．下列三段话，按演绎推理的三段论模式，排列顺序正确的是（    ）．

①，是两个实数；②任意两个实数之间能比较大小；③，之间能比较大小

A．①②③   B．②①③   C．③②①   D．②③①

4．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得回归直线方程，则宣传费用为9万元时，销售额约为（    ）．

A．123万元   B．128万元   C．132万元   D．138万元

5．用反证法证明问题“，，，若，则，，中至少有一个正数”时，假设为（    ）．

A．，，均为负数     B．，，中至多一个是正数

C．，，均为正数     D．，，中没有正数

6．已知复数，，则下列结论：①若，则；②若，则；③；④；⑤正确的个数为（    ）．

A．1    B．2    C．3    D．4

7．两个分类变量和，它们的取值分别为和，其样本频数列联表如下表所示：

则下列四组数据中，分类变量和之间关系最强的是（    ）．

A．，，，   B．，，，

C．，，，   D．，，，

8．，，三人参加单位组织的安全生产知识（闭卷）竞赛，三人向组织人员询问结果，得知他们三人包揽了这次竞赛的前三名，未告知具体名次，但提供了以下3条信息：①不是第一名；②不是第三名；③是第三名，并告知他们这3条信息中有且只有一条信息正确，那么该次竞赛的第一名，第二名，第三名依次为（    ）．

A．、、  B．、、  C、、、  D．、、

9．为解决问题：求使成立的最大整数，李小茶同学设计如下程序框图，其中能解决该问题的是（    ）．

A． B． C． D．

10．若实数系一元二次方程在复数集内的根为，，则有，所以，（韦达定理），类比此方法求解如下问题：设实数系一元三次方程在复数集内的根为，，，则的值为（    ）．

A．    B．    C．    D．

11．设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为（    ）．

A．  B．   C．   D．

12．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图．记图乙中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，则下列结论错误的是（    ）．

A．

B．40是数列中的项

C．对任意的，均有

D．

二、填空题

13．若（，），则______．

14．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______．

15．，．通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题______．

16．已知，为正实数，若，则的最小值为______．

三、解答题

（一）必考题

17．某超市为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和60名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）完成上述列联表，并估计顾客不满意的概率；

（2）判断能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：，．

18．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格（单位：百万元）和房屋的面积（单位：）的数据：

（1）画出该组数据对应的散点图；

（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

（3）据（2）的结果估计当房屋面积为时的销售价格（结果精确到0.001）．

附：，．

19．已知复数，，．

（1）若为实数，求角的值；

（2）若复数，对应的向量分别是，，存在使等式成立，求实数的取值范围．

20．（1）已知，证明：；

（2）已知，且，用分析法证明：．

21．已知，是椭圆：（）的左、右顶点，为椭圆上异于，的点．

（1）证明：的斜率与的斜率之积为定值；

（2）探讨若，为椭圆上关于原点对称的两点，仍为上异于，的点，若的斜率和的斜率都存在，是否仍有（1）中的结论呢？请说明理由;

（3）类比椭圆中的结论，双曲线：（，）中是否具有类似（1）的结论，若有，写出该定值（不必证明）；若没有，请简要说明理由．

（二）选考题

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线的交点为，，与轴的交点为，求的值．

23．已知（）．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围．

商周联盟2020～2021学年高二6月联考·数学试卷（文科）

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】C

【解析】由题意，得，所以．故选C．

2．【答案】D

【解析】由组织结构图易知销售部的直接领导为副总经理二．故选D．

3．【答案】B

【解析】三段论的推理模式为：大前提，小前提，结论，故选B．

4．【答案】C

【解析】由表格数据知：，，由回归直线方程的性质，得，所以，故，所以当万元时，万元．故选C．

5．【答案】D

【解析】反证假设为结论的否定，故假设应为，，无正数．故选D．

6．【答案】A

【解析】①错误，例如，满足，但，；②错误，例如，，满足条件，但二者是虚数，不能比较大小；③错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；④正确；⑤错误，类似于③．故选A．

7．【答案】A

【解析】我们可以用的大小近似的判断两个分类变量之间关系的强弱，的值越小，关系越弱，越大，关系越强．这四组数据中的值分别为18、7、2、0，所以组数据的的值最大，相比较而言这组数据反应的和的关系最强．故选A．

8．【答案】B

【解析】由题意知若③对，则②也对，不合题意，故③一定错误，则为第一名，或为第二名，若为第一名，则①正确，那么②错误，故为第三名，符合题意；若为第二名，此时①②同真，或同假，不合题意．故选B．

9．【答案】B

【解析】假设满足条件的最大整数为，按照四个框图的特点，执行，并且此时还是满足判断框，继续循环，执行求和及计数变量再加1后，判断应不满足条件，退出循环，因为此时比大2，输出结果为，故选B．

10．【答案】A

【解析】由

，

由对应系数相等，得，，所以，，所以．故选A．

11．【答案】D

【解析】由，得，由复数模的几何意义知，表示复平面上的点与点间的距离，点在单位圆上，要使恒成立，则点必在圆上或其内部，故，解得．故选D．

12．【答案】C

【解析】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为，第二行记为，第三行记为，第四行的白圈数为；黑圈数为，故第四行的“坐标”为，即，A正确；第五行的“坐标”为，即40是数列中的项，B正确；各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即，，，，，故第行的白圈数为，黑圈数为，因为，，故C错误；因为，故D正确．故选C．

13．【答案】1

【解析】（，），即，所以，解得，所以．

14．【答案】

【解析】由，得，故，所以．

15．【答案】（答案不唯一）

【解析】由已知：，，归纳推理的一般性的命题为．证明如下：

左边

右边．结论正确．

故答案为．

16．【答案】9

【解析】，当且仅当时等号成立．故的最小值为9．

17．【答案】解：（1）

顾客不满意的频率为，所以顾客不满意的概率估计为．

（2），

所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．

【解析】

18．【答案】解：（1）数据对应的散点图如图所示：

（2），，

，，

则，

，

故所求回归直线方程为．

（3）据（2），当时，销售价格的估计值为：

（百万元）．

【解析】

19．【答案】解：（1），

∴，

又，∴，即．

（2），

，

．

得，

整理得．

因为，所以．只要即可，

解得或．

【解析】

20．【答案】证明：（1）因为，

所以，

所以．

（2）因为，且，所以，，，

要证，只需证即可，

只要证，即证，

只要证，

因为，，，所以，，

所以成立，命题得证．

【解析】

21．【答案】证明：（1）设点的坐标为，由题意，知，，

所以，，

所以．

因为点在椭圆上，所以，

所以（定值）．

（2）设，则但

所以的斜率，

的斜率,

所以．

又点，都在椭圆上，所以，，

所以（定值）．

即结论仍成立．

（3）在双曲线：（，）中，若，为双曲线的左右顶点，点为其上异于，的一点，则的斜率与的斜率之积为定值．

【解析】

22．【答案】解：（1）由，得，消去参数，得，即曲线的普通方程为；

由，得，即，

又，，所以，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）因为直线的方程为，所以直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的方程，得，

所以，设，两点对应的参数分别为，，则

，．

所以．

【解析】

23．【答案】解：（1）时，，

所以，当时，不等式变为，解得；

当时，不等式变为，不等式无解；

当时，不等式变为，解得．

所以原不等式的解集为．

（2）因为，当且仅当时等号成立，

所以．

由题意知，

所以，或，

所以，或．

所以的取值范围为．