2021重庆市南开中学高二上学期期中考试数学试题含答案

重庆南开中学高2022级高二（上）期中考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

1. 复数（是虚数单位）的虚部是（    ）

A. 2 B.  C. -2 D.

2. 命题“若，则或”的否命题是（    ）

A. 若，则或

B. 若，则且

C. 若，则或

D. 若，则且

3. 已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ）

A. -2 B. -1 C.  D. 2

4. 已知，，，是空间中的四个点，则“”是“，，，四点共面”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D. 5

6. 已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则原平面图形中最大边长为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

7. 已知某圆柱被截去若干部分后所得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ）

A.   B.

C.   D.

8. 如图，在三棱锥中，平面平面，直线与平面、平面所成角分别记为，，则与的大小关系为（    ）

A.   B.

C.   D. 以上都有可能

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

9. 已知两条直线，和两个平面，，则能使得成立的是（    ）

A. ，，

B. ，，

C. ，，

D. ，，，

10. 已知非零复数，满足，则下列判断一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知二面角的大小为，点，点，，且，，，则，两点间的距离可以是（    ）

A.  B.  C. 3 D.

12. 如图，正方体的棱长为3，点，分别在，上，，.动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则（    ）

A. 过，，的平面截正方体所得截面为等腰梯形

B. 三棱锥的体积为定值

C. 动点所形成轨迹的长度为

D. 过，，的平面截正方体所得截面面积的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上.

13. 若复数满足（是虚数单位），则________.

14. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为________.

15. 若某圆锥的体积为，轴截面面积为3，则此圆锥的侧面积为________.

16. 在矩形中，，，点，分别在线段，（不含端点）上运动，且，若将沿折起（如图），折后的点记为，点平面.则三棱锥体积的最大值为____________；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

17. 已知命题：直线经过第二、三、四象限，命题：方程表示双曲线.若为真命题，求实数的取值范围.

18. 已知复数为纯虚数，且为实数.

（1）求复数；

（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.

19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别为棱，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 已知椭圆：的焦距与短轴长相等，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当与轴垂直时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上存在异于，的一点，使得的重心是坐标原点，求直线的方程.

21. 在四棱锥中，，，，，为上一点，满足，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

22. 已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.

（1）证明：；

（2）点，设直线，分别与抛物线交于另一点，，过点向直线作垂线，垂足为.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及；若不存在，请说明理由.

高2022级高二（上）期中考试数学试题参考答案

一、单项选择题

1-5：ADBAB 6-8：DCC

二、多项选择题

9. AD      10. BD     11. ABC     12. BCD

三、填空题

13.      14.        15.       16.  

四、解答题

17. 为真且，即，为真，

为真，即，均为真，∴.

18.（1）设，则，∴，即；

（2），由题知且，即.

19.（1）取的中点，连接，，

则，，∴，

又平面，平面，∴平面；

（2）∵，∴，又由题知平面，

∴，，∴平面，

由（1）知，故平面，

又平面，∴平面平面，

于是，过作于，则有平面，

所以到平面的距离即为.

20.（1）由题知，，故，，椭圆方程为；

（2）椭圆右焦点为，故可设直线的方程为，与椭圆方程联立得，设，，则，，由题知，，∴，，代入椭圆方程得，解得即，故直线的方程为.

21.（1）在直角梯形中，，，，∴，即，

设，则由，知，解得，∴，

∴，∴，∴平面；

（2）∵平面，平面，

∴平面平面，

取中点，连接，，

由知，∴平面，

又，∴，

故以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

则，令得，

同理可算得平面的一个法向量为，，

故所求二面角的余弦值为.

22.（1）设直线：，与抛物线方程联立得，则，

，∴；

（2）设过定点的直线与抛物线有两个不同交点，，

将与联立得，则，与无关，

即对于抛物线上的两点，，直线过定点，的纵坐标之积为，

由此可得，，从而，

于是可得直线过点，记为，则，

取中点为，则中，

故存在满足条件的点，相应的.