2022湖北省新高考联考协作体高二上学期起点考试数学试题含答案

湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期起点考试

数学试卷

考试时间：2021年9月13日  下午15:00-17:00  试卷满分：150分

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．已知全集，集合，，则（    ）

A．                B．                C．                D．

2．某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（    ）

A．86                    B．84                    C．96                    D．89

3．设复数z满足，则（    ）

A．1                    B．                C．                D．

4．若，则下列结论一定成立的是（    ）

A．        B．            C．            D．

5．掷两枚质地均匀骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”则A与B的关系为（    ）

A．互斥                B．相互独立            C．对立                D．相等

6．如图，在平行四边形中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（    ）

A．        B．            C．            D．

7．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，且直线，直线，则下列说法中正确的序号是（    ）

①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的既不充分也不必要条件

③“”是“”的充要条件；④“”是“”的充分不必要条件

A．①④                B．②③                C．②④                D．①②

8．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，马龙先发球，则马龙以赢下决胜局的概率为（    ）

A．                B．                C．                D．

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ）

A．样本的标准差                B．样本的中位数

C．样本的极差                D．样本的平均数

10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A．        B．        C．        D．

11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数在单调递减

D．该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象

12．2021年“奔跑吧·少年”孝感市青少年阳光体育系列赛事活动于2021年6月开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②，则下列结论正确的是（    ）

图①                      图②

A．直线AD与平面所成的角为

B．直线平面

C．异面直线AD与CF所成的角的余弦值为

D．球上的点离球托底面的最大距离为

三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．若，则的最小值为_________．

14．已知向量，，若，则向量与向量夹角的余弦值为_________．

15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则_________．

16．已知函数（e为自然常数，），，若，总，使得成立，则实数a的取值范围为_________．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）袋子中有5个大小形状质地完全相同的球，其中2个白球（标号为1和2），3个黑球（标号为3、4和5），从中不放回的依次随机摸出2个球，设事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”，事件“两个球颜色相同”，事件C的对立事件为

（1）用集合的形式写出试验的样本空间，并求出．

（2）求和．

18．（本小题12分）如图，在棱长为4的正方体中，设E是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

19．（本小题12分）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．

（1）求出直方图中m的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）；

（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．

20．（本小题12分）在中，，，的外接圆半径．

（1）若，求及边长AB；

（2）求的取值范围．

21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，．

（1）证明：平面；

（2）若，PB与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

22．（本小题12分）已知二次函数满足以下条件：①经过原点②，③函数只有一个零点

（1）求二次函数的解析式；

（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围：

（3）若函数与的图象有两个公共点，求实数t的取值范围．

湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期起点考试数学参考答案

一、单选题

1-4． BABC    5-8． BADC

1．B

因为，，，所以．

2．A

解：因为．所以这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为86．

3．B

因为，所以，．

4．C

对于A选项，由于在R上递减，而，故，所以A选项错误．

对于B选项，由于x，y可能是负数，故B选项错误．

对于C选项，由于，故成立，所以C选项正确．

对于D选项，当，时，，但，所以D选项错误．

5．B

解：对于A，C，因为事件A和事件B中有相同的样本点，如，所以这两个事件既不互斥也不对立，所以AC错误；

对于D，因为事件A中含有事件B中没有的样本点，如，所以两个事件不可能相等，所以D错误，

对于B，因为，，，所以，所以事件A和事件B是相互独立事件．

6．A

解：依题意在平行四边形中，，

又M是AB的中点，DM与AC交于点N，所以，所以，

所以，所以

7．D

线面垂直性质：有，但，不能得出，①正确

时，根据线面平行性质的条件知m若在平面内，不能得出，反之，内的直线也不一定与m平行，即不能得出，既不充分也不必要，②正确

时，m、n可能是异面直线，不一定平行，时，、也可能相交，不一定平行，③错误

两条直线垂直，这两条直线所在的平面可能相交，可以平行，不一定垂直，④错误

故①②两个是正确的

8．C

记甲为马龙，乙为樊振东

在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，

所以，所求事件概率为．

二、多选题    9．AC   10．BC   11．ABD   12．ACD

9．AC

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

10．BC

对于A，是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故A不正确；

对于B，因为，其定义域为R，所以是偶函数，且时，在上是增函数，故B正确；

对于C，定义域为，，所以是偶函数，且时，在上是增函数，故C正确；

对于D，的定义域是，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故D不正确．

11．ABD

由图像可知：，周期，∴；

由解得：

故函数

对于A：，故A正确；

对于B：故B正确；

对于C：当时，所以在上不单调．故C错误；

对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确．

12．ACD

由平面与平面垂直知AE在平面内的射影是DE，所以为直线AD与平面所成的角，此角大小，A正确．

由知，A，C，E，F四点共面，而CF与AE不平行，故直线CF与平面不平行，所以B错误．

由上面讨论知AC与MP平行且相等，而MP与NF平行且相等，因此AC与NF平行且相等，从而是平行四边形，，所以是异面直线AD与CF所成的角（或其补角）．由已知，，，

，C正确；

由上面讨论知，设O是球心，球半径为R，

由得，则是正四面体，棱长为1，

设H是的中心，则平面，又平面，

所以，，则，又．

所以球离球托底面的最大距离为，D正确．

三、填空题  13．   14．   15．2   16．

13．．

因为，，最小值为．

14．

由，得，所以，

∵，∴，故．

15．2

由，及，解得，故

16．

设函数、的值域分别为集合A、B，

当时，，所以，

因为对任意的，总存在实数，使得成立，

所以应有，

故当显然不合要求．

当时，在上符合要求．

当时，在上递增，

所以，故．

综上，

四、解答题

17．（1）由题设可得

，

中共有20个基本事件．                                              3分

C中含有的基本事件为：，共8个基本事件，

故，                                   5分

（2）中含有的基本事件为：

共14个基本事件，

．                                                  8分

AB中含有的基本事件为：，共6个基本事件，

故．                                                     10分

18．（1）连接，设与交于O，连接EO，因为为平行四边形，所以O为中点，所以，平面，平面，所以平面．                     6分

（2）∵，

所以体积为                                                          12分

19．解：（1）由，

得．                                                            2分

（2）平均数为，         6分

因为，，

所以中位数在第4组，设中位数为n，则，

解得．

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为．                  10分

（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，

由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：（个），二等品有：（个）．

所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个．                          12分

20．解：（Ⅰ）；                   2分

由正弦定理，，                                  4分

（Ⅱ）∵，由正弦定理可得                     6分，

∴            8分

，              10分

∵，∴，

∴，

所以的取值范围为．                                        12分

21．（1）证明：因为平面，平面，平面，

所以，

因为，，

所以平面，

因为平面，所以，

因为底面为平行四边形，所以，

所以，

因为，，

所以平面；                                                    4分

（2）解：由（1）可知，

因为，，所以，

因为平面，所以DP为BP在平面上的射影，所以PB与平面所成角即为，因为PB与平面所成角的正弦值为，所以                      6分

以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

所以，，，，

设平面的法向量为，则

令，，，得面的法向量                     9分

同理可得平面的法向量                                  10分

所以，因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为                                      12分

22．解：

（1）由条件②可知的对称轴为，由条件③可知的最值为，

可设顶点式，再根据，解得，

故解析式为．                                                  3分

（2）若对任意，恒成立，只需在对任意恒成立，

即求在的最小值即可，                         5分

令，则，令，

所以，所以．                                     7分

（3）由函数与的图象有两个公共点，即，整理得

．此方程有两个实数根，                    8分

令，，由m与x的图像关系知，当时，一个m对应两个x，

则关于m的方程只有一个正实数根，                    9分

分为以下三种情况：

若即时，，所以；                        10分

若即时，满足只有一个正实数根，有两种情况，

有2个相等的正实根或两异号根，即或

解得或，

综上所述，t的取值范围是．                   12分