2022广东省顶级名校高二上学期入学考试数学含答案

2021－2022学年度高二第一学期入学考试

数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分100分。

第I卷

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知a∈R，则“a>1”是“<1”的

A.充分非必要条件     B.必要非充分条件     C.充要条件     D.既非充分又非必要条件

2.已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝

A.－2－i     B.－2＋i     C.2－i     D.2＋i

3.下列命题中不正确的是

A.一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

B.有A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙

D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

4.已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，有下面四个命题：①若m⊥β，则l//m；②若α//β，则l⊥α；③若α⊥β，则l//α；④若l⊥m，则m//β。其中真命题的序号是

A.①②     B.②③     C.②③④     D.①④

5.已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a//b，则|2a＋3b|＝

A.     B.4     C.3     D.2

6.不等式x2＋2x<对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是

A.(－2，0)     B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)     C.(－4，2)     D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)

7.某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为

A.     B.     C.     D.

8.已知函数f(x)＝，则方程f(f(x))＝1的根的个数为

A.3     B.5     C.7     D.9

二、选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：

则下列说法正确的是

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

10.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是

A.φ＝        B.(，0)是f(x)图象的一个对称中心

C.f(φ)＝－2        D.x＝－是f(x)图象的一条对称轴

11.如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上一点，且DE＝2，F为棱C1D1的中点，点G是线段BC1上的动点，则

A.无论点G在线段BC1上如何移动，都有A1G⊥B1D

B.四面体A－BEF的体积为24

C.直线AE与BF所成角的余弦值为

D.直线A1G与平面BDC1所成最大角的余弦值为

12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(x＋)＝－f(x)，且函数y＝f(x－)是奇函数，则四个命题中，正确的命题有

A.函数f(x)是周期函数     B.函数f(x)的图象关于点(－，0)对称

C.函数f(x)是偶函数       D.函数f(x)在R上是单调函数

第II卷

三、填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分)

13.函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是           。

14.已知tanθ＝2则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3的值为           。

15.已知△ABC三个顶点都在球O的表面上，且AC＝BC＝1，AB＝，S是球面上异于A、B、C的一点，且SA⊥平面ABC，若球O的表面积为16π，则球心O到平面ABC的距离为           。

16.在△ABC中，已知，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为           。

四、解答题(本题共6小题，每小题8分，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17.(本小题满分8分)

已知m>0，p：(x＋1)(x－5)≤0，q：1－m≤x≤1＋m。

(1)若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。

18.(本小题满分8分)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设bsinA＝a(2＋cosB)。

(1)求B；

(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的小值。

19.(本小题满分8分)

某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，，。已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场。

(1)生产一个元件，求该元件为二等品的概率；

(2)从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率。

20.(本小题满分8分)

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC＝1，AA1＝2。

(1)求证：A1C⊥平面ABC；

(2)设直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求二面角A1－BB1－C的余弦值。

21.(本小题满分8分)

已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)。

(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围。

22.(本小题满分8分)

设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数。

(1)求k的值；

(2)判断并证明当a>1时，函数f(x)在R上的单调性；

(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立。请求出最大的整数λ。