2021黄石有色一中高三下学期5月模拟考试数学试题PDF版含答案

13.16     14 （答案不唯一）       15.   16

17【答案】Ⅰ解：设递增等差数列的公差为．
由，，，，成等比数列，得，
解得，或0，舍去，．
Ⅱ证明：设，
由Ⅰ知，
．

18【解答】解：（Ⅰ）设BC＝CD＝x，

∵BC＝CD且BC⊥CD，即△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝x，

在△ABD中，由余弦定理知，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，

∴2x2＝4+1﹣2×2×1×cos＝3，∴x＝，

∴BD＝，∠ADB＝，

∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝+＝，

∴△ACD的面积S＝AD•CD•sin∠ADC＝×1××＝．

（Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝CD且BC⊥CD，

∴∠ADC＝，∠ADB＝，

在△ABD中，由正弦定理知，＝，

∴＝，

∴sin∠ABD＝，

∵AD＜AB，∴∠ABD＜∠ADB＝，∴cos∠ABD＝＝，

∴cos∠BAD＝﹣cos（∠ADB+∠ABD）＝﹣cos∠ADB•cos∠ABD+sin∠ADB•sin∠ABD

＝﹣×+×＝．

19证明：因为平面ACD，平面ACD，所以．

因为平面BCD，平面BCD，所以．

因为，所以平面ABE．

因为平面ABE，所以．

解：因为平面ACD，即为BC与平面ACD所成的角，

所以，所以．

方法一：过点B作交AD于F，连接EF．
 

因为，，，所以平面BEF．

因为平面BEF，所以，

所以即为二面角的平面角．

因为，，所以．

由题图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为．
方法二：以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，
 

则0，，0，，1，，1，，

，，，．

设平面ACD的一个法向量为，平面ABD的一个法向量为，

则即

令，，可得，，所以．

由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为．

20.解：设甲、乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件，则，.

（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M，则，

所以

.

（2）①，则

，

，

，

，

，

所以的分布列为

②记两轮攻击中甲命中战机数为，则，乙命中战机数为，则.

所以.

21解：（1）椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，

，即．

点到直线的距离为，．

又，，即．

解得或（舍去）．．椭圆的方程为；

（2）由题意，直线的斜率存在且不为．设直线的方程为．

由，消去，得．

由，得或．则，．

设过点与直线垂直的直线的方程为．

由，解得．

与面积相等，，

，即，在轴上的投影相等．则．

点，在点，之间，，即．

解得，满足或．

直线的方程为或．

22解：（1）

    在上单调递减，

    ，单调递减. ……………………………………（5分）

   （2）法1：为一个零点；

    不是零点，时，，

    令

    在上单调递增，    ，

    时，单调递增，

    时，单调递减，

    故函数在区间内的零点个数为2个. …………………………（12分）

    法2：

    记

    时，单调递减；

    时，单调递增，

    为在区间内的零点.  ………………（12分）