2022安徽省六校教育研究会高三上学期8月第一次素质测试数学（理）含答案

安徽六校教育研究会2022届高三第一次素质考试

理科数学试题

考试时间：120分钟  试卷分值：150分

第I卷 选择题(共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)。

1.设集合A＝{x∈N|x2－8x＋12<0}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝

A.{x|3≤x<5}     B.{x|2<x<5}     C.{3，4}     D.{3，4，5}

2.复数z＝(－i)(1＋i)3，则|z|＝

A.4     B.4     C.2     D.2

3.一个至少有3项的数列{an}中，前n项和Sn＝n(a1＋an)是数列{an}为等差数列的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件     C.充要条件     D既不充分也不必要条件

4.下列说法正确的是

A.经过三点确定一个平面                   B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥

C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱     D.一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形

5.二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x3的系数为20，则n＝

A.7     B.6     C.5     D.4

6.将点A(，)绕原点逆时针旋转得到点B，则点B的横坐标为

A.     B.     C.     D.

7.已知抛物线y2＝2px(p>0)，A和B分别为抛物线上的两个动点，若∠AOB＝(O为坐标原点)，弦AB恒过定点(4，0)，则抛物线方程为

A.y2＝2x     B.y2＝4x     C.y2＝8x     D.y2＝16x

8.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的。如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形中丢一粒种子，则种子落入白色部分的概率为

A.     B.     C.     D.

9.把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有

A.20个       B.62个      C.63个     D.64个

10.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入33的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15。如图所示。

一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方。记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn，如图三阶幻方记为N3＝15，那么N11的值为

A.670     B.671     C.672     D.675

11.已知双曲线的左右焦点为F1，F2，过F2的直线交双曲线于M，N两点(M在第一象限)，若△MF1F2与△NF1F2的内切圆半径之比为3：2，则直线MN的斜率为

A.     B.2     C.     D.2

12.设a＝2，b＝，c＝，则

A.c<a<b     B.b<c<a     C.a<c<b     D.c<b<a

第II卷 选择题(共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)。

13.已知向量，满足||＝||＝2，＋＝(1，)，则|－|＝           。

14.在棱长为2的正四面体ABCD中，AE是△ABC的高线，则异面直线AE和CD夹角的正弦值为           。

15.正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入。sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行。在三角中，定义正割secα＝，余割cscα＝。已知t>0，且sec2x＋tcsc2x≥16对任意的实数x(x≠k∈Z)均成立，则t的最小值为           。

16.已知函数f(x)＝，设g(x)＝kx＋，且函数y＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为           。

三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(4n－1)(n∈N*)，设bn＝log2an。

(1)分别求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3＋c3＝b2a＋b2c。

(1)求B；

(2)若b＝，求△ABC的面积最大值。

19.(本小题满分12分)近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%。为掌握某校学生近视情况，从该校高三(1)班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视。现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查。

(1)用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

(2)设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A发生的概率。

20.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCEFM中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝，四边形ABFE为矩形，AE⊥面ABC，AE//CM，AE＝AC＝2CM＝6，N为AB中点，面EMN交BC于点G。

(1)求CG长；

(2)求二面角B－EG－N的余弦值。

21.(本小题满分12分)已知椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆C的左右焦点，P为椭圆上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F2作与x轴不垂直的直线l1交椭圆于A，B两点，第一象限点M在椭圆上且满足MF2⊥x轴，连接MA，MB，记直线AB，MA，MB的斜率分别为k，k1，k2，探索－k是否为定值，若是求出；若不是说明理由。

22.(本小题满分12分)设p，q>1，满足＝1，证明：

(1)对任意正数x，有≥x；

(2)对任意正数a，b，有≥ab。